Riemannscher Umordnungssatz

Der riemannsche Umordnungssatz (nach Bernhard Riemann) ist ein mathematischer Satz über bedingt konvergente Reihen.

Formulierung

Ist $\textstyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ eine bedingt konvergente Reihe reeller Zahlen dann existiert zu jeder beliebig vorgegebenen reellen Zahl S eine Umordnung $\sigma\,$ der Reihenglieder a_n, so dass die umgeordnete Reihe $\textstyle \sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}$ gegen S konvergiert. Zu $S\in\{-\infty,+\infty\}$ gibt es eine Umordnung σ, so dass die umgeordnete Reihe $\textstyle \sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}$ gegen S bestimmt divergiert.

Unter der Umordnung σ versteht man eine bijektive Abbildung $\sigma \colon \Bbb{N}\to\Bbb{N}$ der Menge der natürlichen Zahlen auf sich selbst (eine Permutation).

Begründung

Man teilt die Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ in zwei Teilfolgen $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ und $(q_n)_{n \in \mathbb{N}}$ auf, die nur die nicht-negativen bzw. die negativen Folgenglieder von $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ enthalten. Zum Beispiel:

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline (a_n)_n & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 & a_6 & a_7 & a_8 & a_9 & a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16} & a_{17} &\cdots \\\hline \sgn(a_n) &-&+&+&+&0&-&-&-&+&+&0&-&+&-&+&+&-&\cdots\\\hline (p_n)_n && p_1 & p_2 & p_3 & p_4 &&&& p_5 & p_6 & p_7 && p_8 && p_9 & p_{10} && \cdots\\\hline (q_n)_n & q_1 &&&&& q_2 & q_3 & q_4 &&&& q_5 && q_6 &&& q_7 & \cdots \\\hline \end{array}$

Die Reihen $\sum_{n =0}^\infty p_n$ und $\sum_{n =0 }^\infty q_n$ sind beide bestimmt divergent. Wäre nämlich eine der beiden Reihen konvergent, dann wäre auch die andere konvergent, da sie sich als Differenz der Ursprungsreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n$ und der ersten Reihe (mit eingefügten Nullen) schreiben ließe. Damit wäre aber auch $\sum_{n =0}^\infty a_n$ absolut konvergent, im Widerspruch zur Voraussetzung.

Insbesondere folgt daraus, dass es unendlich viele Glieder mit positivem Vorzeichen und unendlich viele Glieder mit negativem Vorzeichen gibt.

Konstruktion der Umordnung

Eine Reihe, die gegen die reelle Zahl S konvergiert, kann folgendermaßen konstruiert werden: Man summiert solange positive Folgeglieder $p_1 + p_2 + p_3\,$ auf, bis man zum ersten Mal das Ziel S überschreitet (im Fall S < 0 ist dies die leere Summe).

Anschließend summiert man dann solange negative Folgenglieder q₁ + q₂ + q₃, bis die Partialsumme den Wert S unterschreitet.

Danach fährt man abwechselnd mit nicht-negativen und negativen Folgengliedern fort. Aus dieser Überlegung entsteht eine Umordnung der ursprünglichen Reihe, da wegen ihrer Konvergenz $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\,$ eine Nullfolge ist. Bildlich kann man sich diesen Prozess so vorstellen:

In jedem noch so kleinen ε-Streifen um S liegen nun die Folgenglieder der Partialreihe für hinreichend große Indizes. Die so umgeordnete Reihe konvergiert also gegen S.

Ist $S=+\infty$, so wählt man die n-te Partialreihe nicht-negativer Folgenglieder in obiger Konstruktion so, dass die Zahl n überschritten wird. Danach wählt man das indexkleinste, noch nicht verwendete, negative Folgenglied. Die so entstehende Umordnung divergiert gegen $+\infty$. Der Fall $S=-\infty$ kann entsprechend behandelt werden.

Beispiel

Am Beispiel der alternierenden harmonische Reihe soll die Auswirkung einer Umordnung gezeigt werden. Diese Reihe ist konvergent, aber nicht absolut konvergent: Die Reihe

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

konvergiert, während die harmonische Reihe

$\sum_{n=1}^\infty \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^\infty \frac 1 n$

divergiert. Obwohl die alternierende harmonische Reihe in normaler Darstellung gegen ln(2) konvergiert, kann sie nach dem Riemannschen Umordnungssatz umgeordnet werden, sodass sie zu einer beliebigen anderen Zahl konvergiert, oder sogar divergiert. Im Beispiel wird sie nur durch Umordnung den Grenzwert ln(2)/2 erreichen.

Die übliche Schreibweise dieser Reihe ist:

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$

Wenn man die Summanden umsortiert, erhält man:

$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + \cdots$

Allgemein ist diese Summe aus Dreierblöcken aufgebaut:

$\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2(2k - 1)} - \frac{1}{4k},\quad k = 1, 2, \dots.$

Ein solcher Block lässt sich umformen zu:

$\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2(2k - 1)} - \frac{1}{4k} = \frac{2 - 1}{2(2k - 1)} - \frac{1}{2\cdot 2k} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k}\right)$

Die gesamte Summe ist damit genau die Hälfte der alternierenden harmonischen Reihe:

$\frac{1}{2} \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots\right) = \frac{1}{2} \ln(2)$

Steinitzscher Umordnungssatz

→ Hauptartikel: Steinitzscher Umordnungssatz

Der steinitzscher Umordnungssatz ist eine Verallgemeinerung des riemannschen Umordnungssatzes. Ist $\textstyle \sum_{k=0}^\infty a_k$ eine konvergente Reihe mit $a_k\in\R^n$, dann ist die Menge der Grenzwerte aller konvergent umgeordneten Reihen

$U=\left\{ \sum_{k=0}^\infty a_{\sigma(k)} \; \mathrm{konvergent}\, \right|\, \sigma \, \mathrm{Umordnung}\Bigg\}$

ein affiner Unterraum des $\R^n$. Ist insbesondere $a_k\in\Bbb C \cong \R^2$, dann ist U in der komplexen Ebene entweder ein Punkt, eine Gerade oder ganz $\Bbb C$. Die Reihe $\textstyle \sum_{k=0}^\infty a_k$ ist genau dann absolut konvergent, wenn U nur einen einzigen Punkt enthält.

Quellen

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil I, Teubner-Verlag.
• Otto Forster: Analysis 1. Vieweg Mathematik.