Satz von Kōmura-Kōmura

Unter einem nuklearen Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorräume. Viele in den Anwendungen wichtige Räume, z. B. Räume differenzierbarer Funktionen, sind nuklear. Während normierte Räume, insbesondere Banachräume oder Hilberträume, Verallgemeinerungen endlich-dimensionaler Vektorräume über ${\mathbb K}$ (${\mathbb R}$ oder ${\mathbb C}$) unter Beibehaltung der Norm aber unter Verlust von Kompaktheitseigenschaften darstellen, liegt der Schwerpunkt bei den nuklearen Räumen, die im unendlich-dimensionalen Fall nicht normierbar sind, auf den Kompaktheitseigenschaften. Ferner erweisen sich unbedingte Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen in nuklearen Räumen als äquivalent. In diesem Sinne sind die nuklearen Räume näher an den endlich-dimensionalen Räumen als die Banachräume.

Die auf Alexander Grothendieck zurückgehenden nuklearen Räume lassen sich auf vielfältige Weise einführen. Als Definition wird hier die am einfachsten formulierbare Variante gewählt, anschließend folgt eine Liste äquivalenter Charakterisierungen, die gleichzeitig eine Reihe wichtiger Eigenschaften nuklearer Räume darstellt. Es folgen Beispiele und weitere Eigenschaften.

Definition

Ein lokalkonvexer Raum E (immer als Hausdorffraum angenommen) heißt nuklear, wenn für jeden Banachraum F jeder stetige lineare Operator $E\rightarrow F$ ein nuklearer Operator ist.

Charakterisierungen

Kanonische Abbildungen

Ist p eine stetige Halbnorm auf dem lokalkonvexen Raum E, so ist $N_p := \{x\in E; p(x)=0\}$ ein abgeschlossener Unterraum von E und durch $\|x+N_p\|_p := p(x)$ wird eine Norm auf dem Faktorraum E_p: = E / N_p erklärt. Die Vervollständigung dieses normierten Raums wird mit B_p bezeichnet. Ist q eine weitere stetige Halbnorm mit $p \le q$, so definiert $x+N_q\mapsto x+N_p$ einen stetigen linearen Operator $E_q \rightarrow E_p$, der sich stetig zu einem linearen Operator $\kappa_{qp}:B_q\rightarrow B_p$ fortsetzen lässt. Die B_p heißen die lokalen Banachräume und die Operatoren κ_qp heißen kanonische Abbildungen von E.

Mit diesen Begriffen gelingt eine innere Charakterisierung nuklearer Räume, d.h. ohne Bezugnahme auf andere Räume:

• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn es zu jeder stetigen Halbnorm p eine weitere stetige Halbnorm $q \ge p$ gibt, so dass die kanonische Abbildung κ_qp ein nuklearer Operator ist.

Es genügt natürlich, sich auf ein gerichtetes System erzeugender Halbnormen zu beschränken.

Hilberträume

Die nun folgenden Charakterisierungen rücken die nuklearen Räume in die Nähe von Hilberträumen.

• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn es ein gerichtetes System $\mathcal P$ erzeugender Halbnormen gibt, so dass jeder lokale Banachraum $B_p, p\in {\mathcal P}$, ein Hilbertraum ist und es zu jedem $p\in {\mathcal P}$ ein $q\in {\mathcal P}, q \ge p$, gibt, so dass die kanonische Abbildung κ_qp ein Hilbert-Schmidt-Operator ist.

Ist $\langle\cdot,\cdot\rangle$ eine Hermitesche Form auf E mit $\langle x,x\rangle \ge 0$ für alle $x\in E$ (d.h. die Hermitesche Form ist nicht-negativ), so ist durch $x\mapsto \langle x,x\rangle^{\frac{1}{2}}$ eine Halbnorm auf E definiert. Solche Halbnormen nennt man Hilbert-Halbnormen.

• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn es ein gerichtetes System erzeugender Hilbert-Halbnormen gibt.

Tensorprodukte

Es gibt zwei wichtige Methoden, das Tensorprodukt $E\otimes F$ zweier lokalkonvexer Räume mit einer geeigneten lokalkonvexen Topologie auszustatten. Seien $U\subset E$ und $V\subset F$ abgeschlossene, absolutkonvexe Nullumgebungen. π_U,V sei das Minkowski-Funktional der absolutkonvexen Hülle von $U\otimes V := \{x\otimes y; x\in U, y\in V\}$. Weiter bezeichne $U^{\circ} := \{\varphi \in E^{\,\prime}\,;\,\rm{Re}(\varphi(x)) \leq 1\ \forall\,x \in U\}$ die Polare von U und analog $V^{\circ}$ die Polare von V. Man erhält eine weitere Halbnorm ε_U,V auf $E\otimes F$ durch die Definition $\epsilon_{U,V}(\sum_{j=1}^n x_j\otimes y_j) := \sup \{|\sum_{j=1}^n \phi(x_j)\psi(y_j)|;\, \phi\in U^{\circ}, \psi\in V^{\circ}\}$.

Das projektive Tensorprodukt oder π-Tensorprodukt $E\otimes_\pi F$ ist der Tensorproduktraum mit dem System der Halbnormen π_U,V, wobei $U\subset E$ und $V\subset F$ die abgeschlossenen, absolutkonvexen Nullumgebungen durchlaufen. Entsprechend ist das injektive Tensorprodukt oder ε-Tensorprodukt $E\otimes_\epsilon F$ der mit dem System der Halbnormen ε_U,V ausgestattete Tensorproduktraum.

Leicht überlegt man sich, dass stets $\epsilon_{U,V} \le \pi_{U,V}$ gilt, d.h. $id : E\otimes_\pi F \rightarrow E\otimes_\epsilon F$ ist stetig. Diese Abbildung ist im Allgemeinen kein Homöomorphismus. Es gilt:

• Ein lokalkonvexer Raum E ist genau dann nuklear, wenn $id : E\otimes_\pi F \rightarrow E\otimes_\epsilon F$ für jeden lokalkonvexen Raum ein Homöomorphismus ist.

• Ein lokalkonvexer Raum E ist genau dann nuklear, wenn $id : E\otimes_\pi F \rightarrow E\otimes_\epsilon F$ für jeden Banachraum ein Homöomorphismus ist.

• Ein lokalkonvexer Raum E ist genau dann nuklear, wenn $id : E\otimes_\pi \ell^1 \rightarrow E\otimes_\epsilon \ell^1$ ein Homöomorphismus ist.

Diese Charakterisierung ist die ursprüngliche von Grothendieck verwendete Definition der Nuklearität.

Bilinearformen

Ist $U\subset E$ eine absolutkonvexe Nullumgebung, so ist die Polare $U^{\circ}$ eine absolutkonvexe und absorbierende Menge im Vektorraum $E_{U^{\circ}} := \bigcup_{\lambda > 0}\lambda U^{\circ} \subset E\,'$, $\|\cdot\|_{U^{\circ}}$ sei das zugehörige Minkowski-Funktional. Eine Bilinearform $E \times F \rightarrow {\mathbb K}$ heißt nuklear, falls es absolutkonvexe Nullumgebungen $U\subset E$ und $V\subset F$ gibt und Folgen (a_n)_n in $E_{U^{\circ}}$ und (b_n)_n in $E_{V^{\circ}}$ gibt mit $\sum_{n=1}^\infty \|a_n\|_{U^{\circ}} \|b_n\|_{V^{\circ}} < \infty$ und $b(x,y) = \sum_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(y)$ für alle $x\in E$ und $y\in F$.

• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn jede stetige Bilinearform $E \times F \rightarrow {\mathbb K}$ für jeden lokalkonvexen Raum F nuklear ist.

• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn jede stetige Bilinearform $E \times F \rightarrow {\mathbb K}$ für jeden Banachraum F nuklear ist.

Diese Charakterisierung nuklearer Räume nennt man auch die abstrakte Form des Satzes vom Kern.

Summierbarkeit

Ist $U\subset E$ eine absolutkonvexe Nullumgebung, so sei p_U das zugehörige Minkowski-Funktional. ${\mathcal U}$ sei eine Nullumgebungsbasis aus absolutkonvexen Mengen. Sei $\ell^1\{E\} := \{ (x_n)_n \in E^{\mathbb N}\,;\,\sum_{n=1}^\infty p_U(x_n) < \infty\,\forall U\in {\mathcal U}\}$ mit den Halbnormen $q_U((x_n)_n) := \sum_{n=1}^\infty p_U(x_n)$ versehen. Der dadurch entstehende lokalkonvexe Raum heißt in naheliegender Weise Raum der absoluten Cauchy-Reihen. In dieser Definition wird nicht verlangt, dass die Reihe $\sum_{n=1}^\infty x_n$ in E konvergiert.

Weiter betrachten wir den Raum $\ell^1[E] := \{ (x_n)_n \in E^{\mathbb N}\,;\, (f(x_n))_n\in\ell^1\,\,\forall f\in E'\}$ mit den Halbnormen $\epsilon_U((x_n)_n) := \sup_{f\in U^{\circ}}\sum_{n=01}^\infty | f(x_n) |$, wobei $U^{\circ}$ wie oben die Polare von U bezeichnet und U die Nullumgebungsbasis ${\mathcal U}$ durchläuft. Dieser lokalkonvexe Raum heißt Raum der unbedingten Cauchy-Reihen, denn aus dem riemannschen bzw. steinitzschen Umordnungssatz folgt leicht, dass mit (x_n)_n auch jede permutierte Folge (x_σ(n))_n in $\ell^1[E]$ liegt.

Sowohl $\ell^1\{E\}$ als auch $\ell^1[E]$ sind unabhängig von der speziellen Wahl der Nullumgebungsbasis. Die nuklearen Räume erweisen sich nun als diejenigen, in denen absolute Cauchy-Reihen und unbedingte Cauchy-Reihen zusammenfallen:

• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn $\ell^1\{E\} = \ell^1[E]$ als Mengen und als topologische Räume.

Satz von Kōmura-Kōmura

Der hier vorgestellte auf T. Kōmura und Y. Kōmura zurückgehende Satz zeigt, dass der in den Beispielen angegebene Folgenraum s der schnell fallenden Folgen ein Generator aller nuklearen Räume ist.

• Ein lokalkonvexer Raum E ist genau dann nuklear, wenn es eine Menge I gibt, so dass E isomorph zu einem Unterraum von s^I ist.

Beispiele

Normierte Räume

Unter den normierten Räumen sind genau die endlich-dimensionalen nuklear.

Schnell fallende Folgen

Sei $s := \{(x_n)_n \in {\mathbb K}^{\mathbb N}; (x_n n^k)_n \in \ell^1\,\,\forall k\in{\mathbb N}\}$ mit den Halbnormen $p_k((x_n)_n) := \sum_{n=1}^\infty |x_n n^k|$. Dieser lokalkonvexe Raum heißt Raum der schnell fallenden Folgen und ist nach obigem Satz von Kōmura-Kōmura ein Prototyp eines nuklearen Raums.

Differenzierbare Funktionen

Wichtige Beispiele sind auch Räume differenzierbarer Funktionen. Sei $\Omega\subset {\mathbb R}^n$ offen und ${\mathcal E}(\Omega)$ der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen $f:\Omega\rightarrow {\mathbb R}$ mit den Halbnormen $p_{K,m}(f) := \sup_{|\alpha|\le m}\sup_{x\in K}|D^\alpha f(x)|$, wobei $m\in {\mathbb N}$ und $K\subset \Omega$ kompakt ist. Dabei wurde für $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ die Multiindex-Schreibweise verwendet. Dann ist ${\mathcal E}(\Omega)$ ein nuklearer Raum.

Testfunktionen

Sei $\Omega\subset {\mathbb R}^n$ offen und ${\mathcal D}(\Omega)\subset {\mathcal E}(\Omega)$ der Unterraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit einem kompakten Träger in Ω. Für kompaktes $K\subset \Omega$ sei ${\mathcal D}_K(\Omega)$ der Raum der Funktionen mit Träger in K mit der von ${\mathcal E}(\Omega)$ induzierten Teilraumtopologie. Dann gibt es eine feinste lokalkonvexe Topologie auf ${\mathcal D}(\Omega)$, die alle Einbettungen ${\mathcal D}_K(\Omega) \subset {\mathcal D}(\Omega)$ stetig macht. ${\mathcal D}(\Omega)$ mit dieser Topologie heiß der Raum der Testfunktionen und spielt eine wichtige Rolle in der Distributionstheorie. ${\mathcal D}(\Omega)$ ist ein Beispiel für einen nicht-metrisierbaren nuklearen Raum.

Schnell fallende Funktionen

Sei ${\mathcal S}({\mathbb R}^n)$ der Raum aller Funktionen $f:{\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}$, für die alle Suprema $p_{k,m}(f) := \sup_{|\alpha|\le k}\sup_{x\in {\mathbb R}^n} |(1+|x|^2)^m D^\alpha f(x)|$ endlich sind. Dabei wurde wieder von der Multiindex-Schreibweise Gebrauch gemacht. Der Raum ${\mathcal S}({\mathbb R}^n)$ mit den Halbnormen $\{p_{k,m};\,k,m\in{\mathbb N}_0\}$ heißt Raum der schnell fallenden Funktionen und ist ebenfalls nuklear.

Holomorphe Funktionen

Sei $\Omega\subset {\mathbb C}$ offen und ${\mathcal H}(\Omega)$ der Raum aller holomorphen Funktionen $\Omega\rightarrow {\mathbb C}$. Dann ist ${\mathcal H}(\Omega)$ mit den Halbnormen p_K: = p_K,0, wobei $K \subset \Omega$ kompakt ist, ein nuklearer Raum.

Permanenzeigenschaften

Nukleare Räume haben sehr gute Permanenzeigenschaften. Unterräume, Faktorräume nach abgeschlossenen Unterräumen, beliebige Produkte, abzählbare direkte Summen, Tensorprodukte und Vervollständigungen nuklearer Räume sind wieder nuklear.

Eigenschaften

• Nukleare Räume besitzen die Approximationseigenschaft.

• In metrisierbaren, nuklearen gilt die Verallgemeinerung des Steinitzschen Umordnungssatzes, wie im Artikel über die Umordnung von Reihen ausgeführt ist.

• Vollständige nukleare Räume sind Schwartz-Räume.

• Nukleare Fréchet-Räume sind Montel-Räume.

• Der starke Dualraum eines nuklearen Raums ist ein tonnelierter Raum.

• In quasivollständigen nuklearen Räumen gilt der Satz von Bolzano-Weierstraß, d.h. eine Menge ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

• Quasivollständige nukleare Räume sind halbreflexiv. Daher sind quasivollständige, quasitonnelierte, nukleare Räume reflexiv.

Literatur

• A Grothendieck: Résumé des résultats essentiels dans la théorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires, Ann. Inst. Fourier 4 (1954), 73-112
• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
• H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces, Springer, 1971 ISBN 0-387-98726-6
• H. Jarchow: Locally Convex Spaces, Teubner, Stuttgart 1981 ISBN 3-519-02224-9
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8