Satz von Berry-Esseen

Der Satz von Berry-Esseen trifft Aussagen über die Güte der Konvergenz im Zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dabei werden sowohl die Konvergenzgeschwindigkeit als auch eine numerische Abschätzung für die Annäherung an die Normalverteilung gegeben. Der Satz wurde unabhängig voneinander durch die Mathematiker Andrew C. Berry (1941) und Carl-Gustav Esseen (1942, veröffentlicht 1944) bewiesen.

Satz von Berry-Esseen

Es sei (X_n) eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen über einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P). Die Erwartungswerte μ = E(X_n) und die Varianzen σ² = E((X_n − μ)²) mögen existieren. Dann konvergieren nach dem Zentralen Grenzwertsatz die Verteilungsfunktionen

$F_n(x) = P \left( \frac {X_1 + ... + X_n - n \cdot \mu} {\sigma \cdot \sqrt{n}} < x \right)$ für $x \in \R$

der standardisierten Summen gegen die Normalverteilung Φ_0,1.

Wenn das dritte absolute Moment ρ: = E( | X_n − μ | ³) der Zufallsgrößen X_n existiert, dann gilt für eine Konstante C

$\left| F_n(x) - \Phi_{0,1}(x) \right| \leq \frac {C \cdot \rho} {\sigma^3 \sqrt{n}}$ für $x \in \R.$

Bemerkungen

• Für die Gültigkeit des Satzes von Berry-Esseen wird außer den Voraussetzungen für den Zentralen Grenzwertsatz (Existenz von Erwartungswert und Varianz) zusätzlich die Existenz des dritten Moments gefordert. Deshalb liefert der Satz nicht für alle Fälle, in denen der Zentrale Grenzwertsatz gilt, eine Aussage über die Güte der Konvergenz gegen die Normalverteilung.
• Der Satz von Berry-Esseen gibt als qualitative Aussage die Konvergenzgeschwindigkeit im Zentralen Grenzwertsatz mit der Größenordnung $1/\sqrt{n}$ an. Ohne weitere Voraussetzungen an die Verteilung der Zufallsvariablen X_n ist dies die bestmögliche Größenordnung, wie der Spezialfall der Bernoulli-Verteilung mit P{X_n = 0} = P{X_n = 1} = 1 / 2 zeigt.
• Der Satz liefert eine quantitative Abschätzung der Annäherung an die Normalverteilung. Die Konstante C ist eine „universelle Konstante“, die nicht von den Eigenschaften der Zufallsgrößen X_n abhängt.

Die Berry-Esseen-Konstante

Die Konstante C, die für die quantitative Abschätzung der Konvergenz von Bedeutung ist, wird in der Literatur als Berry-Esseen-Konstante (engl. Berry-Esseen bound) bezeichnet.

In der Originalarbeit von Carl-Gustav Esseen wird C mit 7,59 angegeben. Seitdem wurde sie immer weiter verbessert. Der beste heute bekannte Wert ist C = 0,7655, der 1985 von Shiganov angegeben wurde^[1]. Andererseits folgt aus dem oben genannten Spezialfall der Bernoulli-Verteilung, dass C größer als $1 / \sqrt{2 \pi} \approx 0{,}3989$ ist.

Literatur

• Andrew C. Berry: The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variables. In: Transaction of the American Mathematical Society. 49, 1941, S. 122–136.
• Carl-Gustav Esseen: Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the Laplace-Gaussian law. Dissertation. In: Acta mathematica. 77, 1944.
• William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II. John Wiley & Sons, New York 1972, ISBN 0-471-25709-5.

Einzelnachweise

1. ↑ I. S. Shiganov: Refinement of the upper bound of the constant in the central limit theorem. In: Journal of Soviet Mathematics. 1986, S. 2545–2550.