Bernoulli-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Bernoulli-Verteilung für p = 0.2 (blau), p = 0.5 (grün) und p = 0.8 (rot)

Zufallsgrößen mit einer Null-Eins-Verteilung bzw. Bernoulli-Verteilung benutzt man zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen, bei denen es nur zwei mögliche Versuchsausgänge gibt. Einer der Versuchsausgänge wird meistens mit Erfolg bezeichnet und der komplementäre Versuchsausgang mit Misserfolg. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit p für einen Erfolg nennt man Erfolgswahrscheinlichkeit und q = 1 − p die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs. Beispiele:

• Werfen einer Münze: Wappen (Erfolg), p = 1 / 2, und Zahl (Misserfolg), q = 1 / 2.
• Werfen eines Würfels, wobei nur eine „6“ als Erfolg gewertet wird: p = 1 / 6, q = 5 / 6.
• Qualitätsprüfung (einwandfrei, nicht einwandfrei).
• Anlagenprüfung (funktioniert, funktioniert nicht).
• Betrachte sehr kleines Raum/Zeit Intervall: Ereignis tritt ein $(p\gtrapprox 0)$, tritt nicht ein $(q\lessapprox 1)$.

Die Bezeichnung Bernoulli-Versuch (Bernoullian trials nach Jakob I. Bernoulli) wurde erstmals 1937 in dem Buch Introduction to Mathematical Probability von James Victor Uspensky^[1] verwendet.

Definition

Eine diskrete Zufallsgröße X unterliegt der Null-Eins-Verteilung bzw. Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter p, wenn sie die folgenden Einzelwahrscheinlichkeiten besitzt.

$\operatorname{P}(X=1)=p$ und $\operatorname{P}(X=0)=q=1-p$.

Eine Wiederholung von vielen identischen Versuchen, bei denen jeder Einzelversuch der Bernoulli-Verteilung genügt, wird Bernoullisches Versuchsschema oder Bernoulli-Prozess genannt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Bernoulli-Verteilung mit Parameter p hat den Erwartungswert:

$\operatorname{E}\left(X\right)=p$

Varianz

Die Bernoulli-Verteilung besitzt die Varianz:

$\operatorname{Var}(X) = p(1-p)= pq$, denn: $\operatorname{E}\left(X^2\right)-\operatorname{E}(X)^2=p-p^2 = p\cdot(1-p) = pq$.

Verteilungsfunktion

Die Bernoulli-Verteilung besitzt die Verteilungsfunktion:

$F_X(t)=\operatorname{P}(X\leq t) =\begin{cases} 0, & \mbox{wenn }t< 0 \\ 1-p, & \mbox{wenn }0\leq t< 1 \\ 1, & \mbox{wenn } t \geq 1 \end{cases}$

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Binomialverteilung

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung für n = 1. Mit anderen Worten, die Summe von unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen mit identischem Parameter p genügt der Binomialverteilung. Die Binomialverteilung ist die n-fache Faltung der Bernoulli-Verteilung bei gleichem Parameter p bzw. mit gleicher Wahrscheinlichkeit p.

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen genügt für $n\to\infty$, $p_{n}\to 0$ und $\lim\limits_{n\to\infty}np_{n}=\lambda>0$ einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ.

Siehe auch

• Geometrische Verteilung
• Zweipunktverteilung

Einzelnachweise

1. ↑ James Victor Uspensky: Introduction to Mathematical Probability, McGraw-Hill, New York 1937

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta