Satz von Frobenius (Differentialtopologie)

Eine k-dimensionale Blätterung (frz. feuilletages, eng. foliations) einer glatten Mannigfaltigkeit M ist eine Zerlegung $\mathcal{K}=\{K_\theta\}$ von M in disjunkte wegzusammenhängende Mengen, die lokal um jeden Punkt so aussieht, wie eine Schichtung paralleler k-dimensionaler Untermannigfaltigkeiten.

Eine 2-dimensinonale Blätterung einer 3-Mannigfaltigkeit kann man sich so vorstellen, wie die Schichten im Schiefer

Blätterteig hat ebenfalls eine Blätterungsstruktur, in diesem Bild allerdings mit einer klar erkennbaren, bei Blätterungen verbotenen, Singularität im unteren Teil

Die Elemente K_θ nennt man die Blätter von $\mathcal{K}$; die Blätter sind nicht notwendigerweise abgeschlossen oder gar kompakt.

Die Theorie der Blätterungen stammt im Wesentlichen von Georges Reeb.

Definition

Eine Partition $\mathcal{K}=\{K_\theta\}$ von M in disjunkte wegzusammenhängende Mengen heißt Blätterung von M, wenn ein Atlas $\mathcal{A} = \{(U_\eta,h_\eta)\}$ existiert (d.h. {U_η} ist eine offene Überdeckung und die $h_\eta:\,U_\eta \to \R^n$ sind Diffeomorphismen), so dass das Bild jeder nichtleeren Zusammenhangskomponente von $K_\theta \cap U_\eta$ unter h_η in eine k-Ebene $\R^k\times \{(x_{k+1},\dots,x_n)\} \subset \R^n$ abgebildet wird.

Beispiele

1. Sei X ein nichtverschwindendes Vektorfeld auf M, dann bilden die Flusslinien von X eine 1-dimensional Blätterung.

2. Dass Blätter global keine Untermannigfaltigkeit bilden müssen, sieht man schön an diesem Beispiel: Auf dem 2-Torus $T^2 = \R^2 / \Z^2$ betrachte man das konstante Vektorfeld $(1,\sqrt{2})$. Jede Flusslinie windet sich dicht um den Torus. Somit stimmt die Topologie eines solchen Blattes nicht mit der Topologie von $\R^1$ überein (Dies ist auch ein Beispiel dafür, dass nicht jede Untergruppe einer Lie-Gruppe selber wieder eine Lie-Gruppe ist).

Satz von Frobenius

In obigen Beispielen wurde nicht direkt eine Partition $\mathcal{K}$ vorgegeben, sondern stattdessen wurde an jedem Punkt nur eine Richtung spezifiziert, und es stellte sich die Frage, ob es eine Blätterung gibt, so dass jedes Blatt an jedem Punkt tangential zur vorgegebenen Richtung ist. Häufig findet man in der Praxis ähnliche Situationen: Auf einer Mannigfaltigkeit M ist eine k-dimensionale Distribution gegeben. Dies ist ein k-dimensionales Unterbündel des Tangentialraums. Ob es zu dieser Distribution eine Blätterung gibt, die tangential dazu liegt, lässt sich oft durch den Satz von Frobenius beantworten.

Die Lie-Klammer zweier Vektorfelder, die auf einer Mannigfaltigkeit definiert sind, ergibt wieder ein Vektorfeld auf dieser Mannigfaltigkeit. Da jedes Blatt K_θ einer Blätterung $\mathcal{K}=\{K_\theta\}$ lokal die Gestalt einer Untermannigfaltigkeit besitzt, folgt dann, dass für zwei beliebige Vektorfelder X,Y, die tangential zu K_θ sind (und die nur auf diesem Blatt definiert sein müssen) auch wieder [X,Y] tangential zu K_θ ist. Der Satz von Frobenius impliziert hingegen auch die Rückrichtung.

Satz von Frobenius (nach: Ferdinand Georg Frobenius): Zu einer k-dimensionalen Distribution D existiert genau dann eine dazu tangentiale k-dimensionale Blätterung, wenn für beliebige Vektorfelder X,Y, die in D liegen, deren Lie-Klammer [X,Y] auch wieder einen Schnitt in D bildet.