Satz von Riesz-Fischer

Der rieszsche Darstellungssatz (nach Frigyes Riesz) charakterisiert in der Mathematik den Dualraum der Banachräume L^p, beziehungsweise in seiner Version auf C₀(X) dem Dualraum der stetigen Funktionen auf einem lokalkompaktem Hausdorff-Raum. Er stellt die stetigen linearen Funktionale als Integral dar. Mit diesem Satz kann man schließlich das Lemma von Lax-Milgram beweisen, welches eine zufriedenstellende Existenztheorie für viele partielle Differentialgleichungen sichert.

Aussage auf L^p

Sei zunächst zu $1\leq p < \infty$ der konjugierte Exponent q mit $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$ gegeben. Im Falle p = 1 wähle man $q=\infty$. Dann gibt es zu jedem stetigen linearen Funktional $A\in (L^p)^*$ ein $g\in L^q$, so dass

$A(f) = \int g(x) f(x){\rm d} x$ für alle $f\in L^p$

erfüllt ist.

Zum Beweis betrachtet man zunächst den Hilbertraumfall, also p=2, und beweist diese Aussage mit dem Projektionssatz. Den allgemeinen Fall führt man dann geschickt auf den soeben bewiesenen Spezialfall unter Anwendung eines Regularitätssatzes zurück.

Aussage auf C₀(X)

X sei ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und $A: C_0(X) \to \C$ ein nicht-negatives, lineares Funktional. Dann existiert ein eindeutiges Radon-Maß μ auf X, so dass

A(f) =	∫	f(x)dμ(x)
	X

für alle $f\in C_0(X)$ erfüllt ist.

Zum Beweis definiert man zunächst

$\mu(V):=\sup\{|A(f)| : f\in C_0(V), |f|\le 1\}$ für alle offenen $V\subseteq X$

und

$\mu(A):=\inf\{\mu(V) : V\supseteq A \text{ offen}\}$ für alle $A\subseteq X$.

Anschließend wir nachgewiesen, dass dies ein Maß, dann dass es ein Radon-Maß ist.

Alternative Formulierung

Diese Formulierung ist allgemeiner und wird in der Fachliteratur als Darstellungssatz von Frechét-Riesz bezeichnet.

Sei H ein Hilbertraum mit Skalarprodukt $\left \langle \cdot, \cdot \right \rangle$ und induzierter Norm $\left \| \cdot \right \|_H$. Die Menge $\mathcal{B}(H,\mathbb{C})$ der linearen, stetigen (und also auch beschränkten) Funktionale über H wird mit der durch

$\left\| T \right\|_{\mathcal{B}(H,\mathbb{C})} =\sup_{\left \| x \right \|_H \ne 0} \frac{\left\| Tx \right \|_H}{\left \| x \right \|_H} =\sup_{\left \| x \right \| = 1} \left\| Tx \right \|_H$

definierten Norm zu einem Banachraum.

Dann gilt: Für jedes lineare und stetige Funktional $T \in \mathcal{B}(H,\mathbb{C})$ existiert ein eindeutiges $y\in H$ mit

$Tx = \left \langle x, y \right \rangle$ für alle $x\in H$

und

$\left\| T \right\|_{\mathcal{B}(H,\mathbb{C})} = \|y\|_H\ .$

Konsequenzen

Neben dem oben erwähnten Lemma von Lax-Milgram folgt aus dem Satz auch noch die Existenz eines isometrischen Isomorphismus von (L^p) ^* nach L^q. Zweimalige Anwendung dieser Überlegung liefert schließlich die Reflexivität der Banachräume L^p für $1<p<\infty$.

Literatur

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York Juni 2006, ISBN 978-3-540-34186-4 (Dieses Buch ist eine schöne Einführung in dieses doch recht abstrakte Themengebiet. Besonderer Wert wird hier auf die Regularitätstheorie schwacher Lösungen partieller Differentialgleichungen gelegt.). 
• Friedrich Sauvigny: Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik. Band 1, Springer-Verlag, 2004 (Ein sehr ungewöhnliches Buch mit einer ausgeprägten Existenztheorie für klassische Lösungen und mit gut ausgearbeiteten Theorie über nicht-lineare Systeme in zwei Variablen. Hier ist auch der Beweis des Rieszschen Satzes im allgemeinen Fall zu finden.)
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, 2004 (Hier wird besonders viel Wert auf die Spektraltheorie auch unbeschränkter Operatoren gelegt. Die exakte Einführung der Distributionstheorie ist hier ebenfalls sehr gelungen.)