Satz von Wolstenholme

Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. In einer möglichen Form besagt er:

Ist $p \geq 5$ eine Primzahl, so ist der Zähler der rationalen Zahl

$1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \ldots + \frac1{p-1}$

durch p² teilbar.^[1][2]

Beispiele, andere Formulierungen, Folgerungen

Der Satz lässt sich gut an einigen Beispielen veranschaulichen. Betrachten wir:

• p=7, dann ist $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac15 + \tfrac16 = \tfrac{49}{20}$, und der Zähler ist offenbar durch 7² teilbar.
• p=13, dann ist $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac15 + \tfrac16 + \tfrac17 + \tfrac18 + \tfrac19 + \tfrac1{10} + \tfrac1{11} + \tfrac1{12} = \tfrac{86021}{27720}$. Der Zähler 86021 muss nun nach dem Satz durch 13² teilbar sein: $86021=13^2 \cdot 509$

Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von

$1 + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \frac1{4^2} + \ldots + \frac1{(p-1)^2}$

durch p teilbar ist.^[3]

Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz

$\binom{2p}{p} \equiv 2 \mod{p^3},$

die auch in der Form

$\binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \mod{p^3}$

geschrieben werden kann.

Wolstenholme-Primzahlen

Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:^[4]

• Der Zähler von

$1 + \frac12 + \frac13 + \dots + \frac1{p-1}$

ist durch p³ teilbar.

• Der Zähler von

$1 + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \dots + \frac1{(p-1)^2}$

ist durch p² teilbar.

• Es gilt die Kongruenz

$\binom{2p}{p} \equiv 2 \mod{p^4}$

bzw. die Kongruenz

$\binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \mod{p^4}.$

• Der Zähler der Bernoulli-Zahl B_{p − 3} ist durch p teilbar.

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964)^[5] und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993).^[6] Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 10⁹ sein.^[7] Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa log(log(x)) unterhalb x (McIntosh 1995).^[8]

Verwandter Begriff

Betrachtet man nur ungerade Nenner, also die Summe

$1 + \frac13 + \frac15 + \dots + \frac1{p-2}$

für eine Primzahl $p \geq 3$, so ist der Zähler genau dann durch p teilbar, wenn die stärkere Form

$2^{p-1} \equiv 1 \mod{p^2}$

des Satzes von Euler-Fermat gilt.^[9] Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.

Geschichte

Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz

$\binom{np-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n.

Charles Babbage bewies 1819^[10] die Kongruenz

$\binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}$

für jede Primzahl p > 2.

Joseph Wolstenholme bewies 1862^[1] die Kongruenz

$\binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}$

für jede Primzahl p > 3.

Literatur

• G. H. Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers, 6. Auflage, Oxford University Press, Oxford 2008, ISBN 978-0-19-921985-8 (englisch; revidiert von D. R. Heath-Brown und J. H. Silverman)

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} J. Wolstenholme: On certain properties of prime numbers, The quarterly journal of pure and applied mathematics 5, 1862, S. 35–39 (englisch)
2. ↑ Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers, 2008, S. 112 (englisch; Theorem 115)
3. ↑ Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers, 2008, S. 114 (englisch; Theorem 117)
4. ↑ Anthony Gardiner: Four problems on prime power divisibility, The American Mathematical Monthly 95, Dezember 1988, S. 926–931 (englisch)
5. ↑ J. L. Selfridge, B. W. Pollack: Fermat’s last theorem is true for any exponent up to 25,000, Notices of the AMS 11, 1964, S. 97 (englisch; nur Zusammenfassung; 16843 nicht ausdrücklich angegeben)
6. ↑ J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall, T. Metsänkylä: Irregular primes and cyclotomic invariants to four million, Mathematics of Computation 61, Juli 1993, S. 151–153 (englisch)
7. ↑ Richard J. McIntosh, Eric L. Roettger: A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes (PDF-Datei, 151 kB), Mathematics of Computation 76, Oktober 2007, S. 2087–2094 (englisch)
8. ↑ Richard J. McIntosh: On the converse of Wolstenholme’s theorem (PDF-Datei, 190 kB), Acta Arithmetica 71, 1995, S. 381–389 (englisch)
9. ↑ Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers, 2008, S. 135 (englisch; Theorem 132)
10. ↑ Charles Babbage: Demonstration of a theorem relating to prime numbers, The Edinburgh philosophical journal 1, 1819, S. 46–49 (englisch; „n+1.n+2.n+3...“ bedeutet „(n+1)(n+2)(n+3)…“; die Umkehrung wird auch behauptet: „otherwise it is not“, aber nicht bewiesen und ist falsch für Quadrate von Wolstenholme-Primzahlen)

Weblinks

• The Prime Glossary: Wolstenholme prime (englisch)
• Eric W. Weisstein: Wolstenholme’s Theorem. In: MathWorld. (englisch)