Schwerpunktsenergie

Als Schwerpunktsenergie bezeichnet man die Gesamtenergien aller an einem Prozess beteiligten Teilchen, bezüglich ihres gemeinsamen physikalischen Schwerpunktsystems. Die Abkürzung für die Schwerpunktsenergie lautet üblicherweise $\sqrt{s}$ mit der Mandelstam-Variablen s. Sie ist eine für Teilchenkollisionen wichtige relativistisch invariante Größe.

Die Schwerpunktsenergie ist, in natürlichen Einheiten, allgemein die Wurzel aus dem Quadrat des Gesamtviererimpulses

$\sqrt{s}=\sqrt{\left(\sum_{i=1}^n{P_i}\right)^2}$,

wobei mit dem Quadrat strenggenommen das Skalarprodukt der Minkowskimetrik (siehe Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie) gemeint ist

$\sqrt{s}=\sqrt{\left(\sum_{i=1}^n{P_{\mu, i}}\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n{P_i^\mu}\right)}$.

Hier ist n die Anzahl der Teilchen und P_i deren entsprechende Viererimpulse. Im Schwerpunktssystem ist die Summe der Impulse 0. Der Schwerpunkt ist also in Ruhe und wird als Ursprung des Koordinatensystems gewählt. Alle Geschwindigkeiten, Impulse etc. werden im Schwerpunktsystem bezüglich dieses Punktes gemessen.

Beispiele

Beispiel 1:

Zwei Teilchen mit identischen Massen und entgegengesetzten gleichgroßen Impulsen kollidieren. Die Viererimpulse sind also

$p_1 = \begin{pmatrix} E \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix}$ und $p_2 = \begin{pmatrix} E \\ -p_x \\ -p_y \\ -p_z \end{pmatrix}$

eingesetzt ergibt das:

$\sqrt{s} = \sqrt{\left(\begin{pmatrix} E \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} E \\ -p_x \\ -p_y \\ -p_z \end{pmatrix}\right)^2} = \sqrt{\begin{pmatrix} 2\cdot E \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}^2} = \sqrt{4\cdot E^2} = 2\cdot E$

Der Anstieg der Schwerpunktsenergie ist also proportional zur Energie E.

Beispiel 2:

Ein Teilchen mit der Masse m trifft auf ein zweites ruhendes Teilchen der gleichen Masse m. Die Viererimpulse sind nun:

$p_1 = \begin{pmatrix} E \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix}$ und $p_2 = \begin{pmatrix} m \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

eingesetzt ergibt das:

$\sqrt{s} = \sqrt{\left(\begin{pmatrix} E \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} m \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right)^2} = \sqrt{\begin{pmatrix} E + m \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix}^2} = \sqrt{(E+m)^2 - (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)} = \sqrt{E^2 + 2\cdot E\cdot m + m^2 - \boldsymbol p^2}$

Mit der Beziehung $\boldsymbol p^2 = E^2 - m^2$ folgt

$\sqrt{s} = \sqrt{2\cdot E\cdot m + 2\cdot m^2}$

Der Anstieg der Schwerpunktsenergie ist im Vergleich zum Beispiel 1 nur proportional zur Wurzel der Energie, wenn man von hinreichend hohen Energien und kleinen Massen ausgeht. Durch diesen Unterschied können die höchsten Energien bei Teilchenbeschleunigern nur erreicht werden, wenn beide Kollisionspartner beschleunigt werden.

Literatur

• Christoph Berger: Elementarteilchenphysik: Von den Grundlagen zu den modernen Experimenten. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-23143-9.