Smash-Produkt

Das Smash-Produkt bezeichnet eine topologische Konstruktion. Für zwei gegebene punktierte topologische Räume X und Y mit Basispunkten x₀ und y₀ betrachtet man zunächst den Produktraum X × Y mit der Identifizierung (x, y₀) ∼ (x₀, y) für alle x ∈ X und alle y ∈ Y. Der Quotient von X × Y unter dieser Identifizierung heißt das Smash-Produkt von X und Y und wird mit X ∧ Y bezeichnet. Es hängt in der Regel von den gewählten Basispunkten ab.

Wenn man den Raum X mit X × {y₀} und Y mit {x₀} × Y identifiziert, so schneiden sich X und Y in (x₀, y₀) und ihre Vereinigung liefert den Unterraum X ∨ Y von X × Y. Das Smash Produkt ist dann der Quotient

$X \wedge Y = X \times Y / X \vee Y$.

Das Smash-Produkt ist vor allem in der Homotopie-Theorie wichtig, wo es die Homotopie-Kategorie zu einer symmetrischen monoidalen Kategorie macht, mit der 0-Sphäre (bestehend aus zwei Punkten) als neutralem Element. Das Smash-Produkt ist kommutativ bis auf Homotopie, d.h. X ∧ Y und Y ∧ X sind zwar nicht unbedingt homöomorph, aber homotop.

Beispiele

• Das Smash-Produkt von zwei Sphären S^m und Sⁿ ist homöomorph zur Sphäre S^m+n. Das Smash-Produkt von zwei Kreisen ist demnach eine 2-Sphäre, die sich als Quotient aus einem Torus ergibt.
• Mit dem Smash-Produkt kann man die sogenannte reduzierte Einhängung erhalten als:

$\Sigma X = S^1 \wedge X .$

Funktorielle Eigenschaften

In der Kategorie der punktierten topologischen Räume besitzt das Smash-Produkt folgende Eigenschaft, die analog zum Tensorprodukt von Moduln ist. Für A lokal kompakt gilt die Adjunktionsformel

$\mathrm{Stet}(X\wedge A,Y) \cong \mathrm{Stet}(X,\mathrm{Stet}(A,Y))\, ,$

wobei Stet(A,Y) den Raum der Basispunkt-erhaltenden stetigen Abbildungen versehen mit der kompakt-offenen Topologie bezeichnet. Wenn man für A den Einheitskreis S¹ nimmt, so ergibt sich als Spezialfall, dass die reduzierte Einhängung Σ links adjungiert zum Schleifenraum Ω ist;.