Sublineare Funktion

In der Linearen Algebra und verwandten Bereichen der Mathematik wird eine reellwertige Funktion auf einem reellen oder komplexen Vektorraum V als sublinear bezeichnet, wenn für alle reellen Skalare α und Vektoren x und y die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

$f(\alpha x) = \alpha\cdot f(x)$ für α > 0 (Positive Homogenität)

$f(x + y) \le f(x) + f(y)$ (Subadditivität)

In der obigen Definition kann statt Subadditivität auch Konvexität von f gefordert werden.

Beispiele

• Jede lineare Funktion ist insbesondere sublinear.
• Normen und Halbnormen sind sublinear.
• Die Richtungsableitung einer reellwertigen Funktion ist sublinear bezüglich des Zuwachses.

Eigenschaften

• Sublineare Funktionen sind im Allgemeinen in der 0 nicht differenzierbar, jedoch existiert dort die einseitige Richtungsableitung.
• Jede sublineare Funktion ist von der Form $f(x) = \sup_{v\in A} \langle v,x \rangle$, wobei $A \neq \emptyset$, kompakt und konvex ist.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6