Hahn-Banach

Der Satz von Hahn-Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist einer der Ausgangspunkte der Funktionalanalysis. Er sichert die Existenz von ausreichend vielen stetigen, linearen Funktionalen auf normierten Vektorräumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Räumen. Die Untersuchung eines Raums mit Hilfe der darauf definierten stetigen, linearen Funktionale führt zu einer weitreichenden Dualitätstheorie, die auf allgemeinen topologischen Vektorräumen in dieser Form nicht möglich ist, da eine zum Satz von Hahn-Banach analoge Aussage dort nicht gilt.

Darüber hinaus ist der Satz von Hahn-Banach die Grundlage für viele nicht-konstruktive Existenzbeweise wie z. B. im Trennungssatz oder im Satz von Krein-Milman.

Der endlich-dimensionale Fall

Stellt man Vektoren eines endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraums X bzgl. einer fest gewählten Basis in der Form eines Zeilenvektors $(v_1,\ldots,v_n)$ dar, so kann man die jeweiligen i-ten Einträge dieser Zeilenvektoren als Funktionen

$x_i\colon X\to\mathbb K,\quad (v_1,\ldots,v_n)\mapsto v_i$

auffassen (dabei sei $\mathbb K$ der Grundkörper $\mathbb R$ bzw. $\mathbb C$). Ein wesentlicher Teil der Bedeutung einer solchen aus der linearen Algebra bekannten Koordinatendarstellung liegt nun darin, dass zwei Vektoren genau dann gleich sind, wenn alle ihre Koordinaten übereinstimmen:

$v=w\iff x_i(v)=x_i(w)\ \mathrm{f\ddot ur}\ i=1,\ldots,n.$

Die Koordinatenfunktionen trennen daher die Punkte, d. h. sind $v \neq w$ verschiedene Vektoren, dann gibt es einen Index i, so dass $x_i(v) \neq x_i(w)$ ist. Die x_i sind stetige lineare Funktionale auf dem endlich dimesionalen Raum.

In unendlich-dimensionalen Räumen gibt es i. d. R. keine den Koordinaten x_i vergleichbare Konstruktion, wenn man dabei auf Stetigkeit der Koordinaten besteht. Der Satz von Hahn-Banach impliziert aber, dass die Menge aller stetigen linearen Funktionale auf einem normierten Raum (oder allgemeiner auf einem lokalkonvexen Raum) die Punkte trennt.

Formulierung

Es sei X ein Vektorraum über $\mathbb K$ (dabei sei $\mathbb K=\mathbb R$ oder $\mathbb K=\mathbb C$).

Eine Abbildung

$p\colon X\to\mathbb R$

heißt sublinear, wenn die Bedingungen

• $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$
• $p(\lambda x)=|\lambda|\cdot p(x)$

für alle $x,y\in X$ und $\lambda\in\mathbb K$ erfüllt sind.

Es seien nun

• $Y\subseteq X$ ein Teilraum;
• $p\colon X\to\mathbb R$ sublinear;
• $f\colon Y\to\mathbb K$ ein lineares Funktional, für das $|f(y)|\leq p(y)$ für alle $y\in Y$ gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional $F\colon X\to\mathbb K$, so dass

• $F|_Y=f\,\,$ und
• $|F(x)|\leq p(x)$

für alle $x\in X$ gilt.

Der Beweis dieses grundlegenden Satzes ist nicht konstruktiv. Man betrachtet die Menge aller Fortsetzungen $g:Z\rightarrow {\mathbb K}$ von f auf Teilräume Z mit $Y\subset Z\subset X$, für die $|g(z)|\leq p(z)$ für alle $z\in Z$ gilt. Dann zeigt man mit dem Lemma von Zorn, dass die Menge aller solchen Fortsetzungen maximale Elemente besitzt und dass ein solches maximales Element eine gesuchte Fortsetzung $F\colon X\to{\mathbb K}$ ist.

Korollare

Häufig ist eine der folgenden Aussagen gemeint, wenn der „Satz von Hahn-Banach“ zitiert wird:

• Ist X ein normierter Raum, so gibt es für jedes $x\in X$ ein lineares Funktional f mit Norm 1, für das $f(x)=\|x\|$ gilt. Sind $x,y\in X$ verschiedene Punkte, so erhält man die oben erwähnte Eigenschaft der Punktetrennung, indem man dies auf $x-y\neq 0$ anwendet.
• Ist allgemeiner X ein normierter Raum, U ein Unterraum, und liegt $x\in X$ nicht im Abschluss von U, so gibt es ein lineares Funktional f mit Norm 1, das auf U verschwindet und für das $f(x)=\|x\|$ gilt.
• Ist X ein normierter Raum, Y ein Teilraum und f ein stetiges lineares Funktional auf Y, so kann f zu einem stetigen linearen Funktional derselben Norm auf ganz X fortgesetzt werden. Anders ausgedrückt: die Einschränkung von Funktionalen ist eine surjektive Abbildung $X^*\to Y^*$ der Dualräume.
• Weitere Folgerungen geometrischer Art finden sich im Artikel Trennungssatz.

Literatur

• Hans Hahn: Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 157 (1927), p. 214–229.
• Stefan Banach: Sur les fonctionelles linéaires. In: Studia Mathematica 1 (1929), p. 211–216.
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992