Säkulargleichung

Das charakteristische Polynom (Abk.: CP) einer linearen Abbildung, manchmal auch Säkulargleichung genannt, ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Dieses Polynom, das nur für Endomorphismen von endlich dimensionalen Vektorräumen definiert ist, gibt Auskunft über einige Eigenschaften der linearen Abbildung.

Definition

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension $n\in\mathbb{N}$ und $\varphi: V \longrightarrow V$ ein Endomorphismus. Dann ist das charakteristische Polynom $\chi_\varphi$ gegeben durch (s. auch Herleitung):

$\chi_\varphi(\lambda) = \det(\lambda \cdot \mathrm{id}_V - \varphi)$

Zur Berechnung des charakteristischen Polynoms benötigt man eine Darstellungsmatrix A der linearen Abbildung $\varphi$. Dann lässt sich das charakteristische Polynom wie folgt berechnen:

$\chi_\varphi(\lambda)=\chi_A(\lambda) = \det(\lambda E - A)$

Hierbei ist E die n-dimensionale Einheitsmatrix und det steht für die Determinante.

Das charakteristische Polynom ist ein normiertes Polynom n-ten Grades aus K[λ]. Die Notation für das charakteristische Polynom ist sehr uneinheitlich, andere Varianten sind beispielsweise CP_A(λ) oder bei Bourbaki Pc_A(λ).

Die auch gebräuchliche Definition det(A − λE) ist etwas ungeschickter, da dann der Leitkoeffizient bei ungeradem n zu -1 wird und das Polynom dann nicht mehr normiert ist.

Zusammenhang mit Eigenwerten

Das charakteristische Polynom spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix, denn die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Auch wenn man zum expliziten Berechnen des charakteristische Polynoms immer eine Basis und damit eine Darstellungsmatrix auswählt, hängt das Polynom, wie auch die Determinante nicht von dieser Wahl ab.

Um zu zeigen, dass die Eigenwerte gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, geht man folgendermaßen vor:

Es sei $\lambda\in\mathbb K$ und A eine $n \times n$-Matrix über $\mathbb K$. Dann gelten die folgenden Äquivalenzen:

λ ist ein Eigenwert von A.

$\Leftrightarrow$ Es gibt ein $x\in\mathbb K^n,x\ne 0$ mit Ax = λx.

$\Leftrightarrow$ Es gibt ein $x\in\mathbb K^n,x\ne 0$ mit (λE − A)x = 0.

$\Leftrightarrow \lambda E - A$ ist nicht invertierbar.

$\Leftrightarrow \det (\lambda E - A) = 0$

$\Leftrightarrow$ λ ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A.

Formeln

Schreibt man das charakteristische Polynom in der Form

$\chi_A(\lambda) = \lambda^n - a_1 \lambda^{n-1} + a_2 \lambda^{n-2}\dots + (-1)^n a_n$,

so ist stets a₁ die Spur und a_n die Determinante von A.

Speziell für 2 x 2-Matrizen hat das charakteristische Polynom also die besonders einfache Form

$\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - \operatorname{spur}(A)\cdot\lambda + \det(A)$.

Für 3 x 3-Matrizen ergibt sich die Form:

$\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - \operatorname{spur}(A)\cdot\lambda^2 + \left( \det(A_1) + \det(A_2) + \det(A_3) \right)\cdot\lambda - \det(A)$.

Hierbei ist A_i die $2 \times 2$-Matrix, die man durch Streichen der i-ten Zeile und der i-ten Spalte erhält (ein Minor).

Eigenschaften

• Die charakteristischen Polynome zweier ähnlicher Matrizen sind gleich. Die Umkehrung ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig.
• Die Matrix A und ihre Transponierte besitzen das gleiche charakteristische Polynom.
• Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist eine Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms:

  $\chi_A\left(A\right) = 0$.

• Das Minimalpolynom einer linearen Abbildung teilt deren charakteristisches Polynom.
• Ist A eine $m\times n$-Matrix und B eine $n\times m$-Matrix so gilt $\chi_{AB}(\lambda)\, \lambda^n=\chi_{BA}(\lambda)\, \lambda^m$.

Beweis:

Aus den Matrixgleichungen

$\begin{pmatrix} \lambda E_m & -A \\ 0 & E_n \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} E_m & A \\ B & \lambda E_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \lambda E_m-AB & 0 \\ B & \lambda E_n\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \lambda E_m & 0 \\ -B & E_n \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} E_m & A \\ B & \lambda E_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \lambda E_m & \lambda A \\ 0 & \lambda E_n-BA \end{pmatrix}$

sowie der Regel

$\det\begin{pmatrix} T & 0 \\ S & W \end{pmatrix} =\det(T)\, \det(W)$

folgt

$\det(\lambda E_m-AB)\, \lambda^n=\det\begin{pmatrix} E_m & A \\ B & \lambda E_n\end{pmatrix}\, \lambda^m=\det(\lambda E_n-BA)\, \lambda^m$.

Beispiel

Gesucht ist das charakteristische Polynom der Matrix

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$.

Gemäß der obigen Definition rechnet man wie folgt:

$\begin{matrix} \chi_A(\lambda) &=& \det(\lambda E - A) \\ &=& \begin{vmatrix} \lambda-1 & 0 & -1 \\ -2 & \lambda-2 & -1 \\-4 & -2 & \lambda-1 \end{vmatrix} \\ &=& \lambda^3 - 4\lambda^2 - \lambda + 4 \\ &=& (\lambda - 1)(\lambda + 1)(\lambda - 4) \end{matrix}$

Damit sind 1, -1 und 4 die Nullstellen des charakteristischen Polynoms χ_A(λ) und somit auch die Eigenwerte der Matrix A.

Weblinks

• Online-Tool zum Berechnen des Charakteristischen Polynoms