Transformationsformel

Der Transformationssatz (auch Transformationsformel) beschreibt in der Analysis das Verhalten von Integralen unter Koordinatentransformationen. Es ist somit die Verallgemeinerung der Integration durch Substitution auf Funktionen höherer Dimensionen. Der Transformationssatz wird als Hilfsmittel bei der Berechnung von Integralen verwendet, wenn sich die zu integrierende Funktion nach Überführung in ein anderes Koordinatensystem leichter auflösen lässt.

Es sei $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ offen und $\Phi: \Omega \to \mathbb{R}^d$ ein Diffeomorphismus. Dann ist f auf Φ(Ω) genau dann integrierbar, wenn $f(\Phi(x)) \left|\det(D\Phi(x))\right|$ auf Ω integrierbar ist. In diesem Fall gilt:

$\int_{\Phi(\Omega)} f(y)\, \mathrm{d}y = \int_\Omega f(\Phi(x)) \left|\det(D\Phi(x))\right| \mathrm{d}x$.

DΦ ist dabei die zugehörige Jacobi-Matrix.

Der Beweis läuft darauf hinaus, Eigenschaften einer solchen Transformation zu zeigen, die mit denen übereinstimmen, welche die Determinante eindeutig definieren.

Beispiel

Um zu zeigen, dass das Integral über die Gauß-Glocke

$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-\frac12\big(\frac{x-\mu}\sigma\big)^2}$

gleich 1 ist, genügt es, die Aussage

$\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2-y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\pi$

zu beweisen. Da die Funktion $f(x,y)=\mathrm e^{-x^2-y^2}$ rotationssymmetrisch ist, liegt die Berechnung des Integrals in Polarkoordinaten statt kartesischen Koordinaten nahe:

Es sei $\Omega=\mathbb R_{>0}\times(0,2\pi)$ und

$\Phi\colon\Omega\to\mathbb R^2,\quad(r,\varphi)\mapsto(r\cos\varphi,r\sin\varphi).$

Dann ist die Funktionaldeterminante

$\det D\Phi(r,\varphi)=\begin{vmatrix}\cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi\end{vmatrix}=r(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r.$

Das Komplement von $\Phi(\Omega)\subset\mathbb R^2$ ist eine Nullmenge, mit $f(x,y)=\mathrm e^{-x^2-y^2}$ ergibt sich also

$\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2-y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy$

${} = \int_{\Phi(\Omega)}\mathrm e^{-x^2-y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy$

${} = \int_\Omega\mathrm e^{-(r\cos\varphi)^2-(r\sin\varphi)^2}\cdot r\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi$

${} = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty r\mathrm e^{-r^2}\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi$

${} = \int_0^{2\pi}\frac12\cdot\mathrm d\varphi = \pi.\,$

Die Auswertung des inneren Integrals in der vorletzten Zeile kann beispielsweise durch eine Substitution t = r² begründet werden.

Literatur

• Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rⁿ mit Anwendungen. 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996. ISBN 3-528-27252-X
• Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer, Berlin 2004.