Virasoro-Algebra

In der Mathematik ist die Virasoro-Algebra eine unendlichdimensionale Lie-Algebra. Sie findet Verwendung in der mathematischen Physik, wie in der Stringtheorie und konformen Feldtheorie. Dort wird sie als Algebra über den komplexen Zahlen behandelt, was sich aber auch für beliebige Körper der Charakteristik 0 durchführen lässt. Sie wurde 1970 von Miguel Virasoro im Rahmen der Stringtheorie eingeführt, sie spielt aber auch innermathematisch eine wichtige Rolle bei der Konstruktion der Monstergruppe.

Konstruktion

Ausgangspunkt ist die Witt-Algebra W über einem Körper K der Charakteristik 0 (zum Beispiel $\C$), die von Elementen $d_n, n\in \Z$ mit den Kommutatorrelationen $[d_m,d_n]\,=\,(m-n)d_{m+n}$ erzeugt werde. Eine Virasoro-Algebra V ist definiert als zentrale Erweiterung dieser Witt-Algebra. Das heißt es gibt eine kurze exakte Sequenz von Lie-Algebren

$0 \rightarrow K\cdot c \rightarrow V \rightarrow W \rightarrow 0$.

$K\cdot c$ ist ein eindimensionaler Vektorraum, den man sich in V enthalten denken kann. Dabei soll c im Zentrum von V liegen, man bezeichnet c auch manchmal als „zentrale Ladung“ der Virasoro-Algebra. Die Virasoro-Algebra V wird dann von c und Elementen L_n, die Urbilder der d_n sind, erzeugt. Für die Kommutatorrelationen hat man gewisse Wahlmöglichkeiten. Eine häufige Wahl ist

• $[v,c]\,=\,0$ für alle $v\in V$, denn c ist im Zentrum von V,
• $[L_m,L_n]:=(m-n)\cdot L_{m+n} + \frac{c}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}$ für alle $m,n\in\Z$.

Dabei steht δ für das Kronecker-Delta. Man nennt $\frac{c}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}$ den zentralen Anteil der Kommutatorrelation; diesen Anteil kann man im allgemeinsten Fall als αm³ + βm mit $\alpha, \beta \in K$ wählen. Die vorliegende Wahl wird dadurch motiviert, dass m³ − m für m = − 1,0,1 verschwindet und daher $K\cdot L_{-1} + K\cdot L_0 + K\cdot L_1 \subset V$ in obiger Sequenz isomorph auf $K\cdot d_{-1} + K\cdot d_0 + K\cdot d_1 \subset W$ abgebildet wird, wobei letzteres eine zur sl(2,K) isomorphe Lie-Algebra ist. Der Faktor 1 / 12 erklärt sich dadurch, dass es bestimmte Darstellungen der Virasoro-Algebra gibt, bei denen dieser Faktor dann verschwindet; das ist lediglich eine bequeme Konvention.

Eine alternative Konvention

Eine alternative Wahl der Kommutatorrelationen erhält man, wenn man von L_n zu $L_n':= L_n-\frac{c}{24}\delta_{n,0}$ übergeht. Eine kurze Rechnung zeigt

• $[L_m',L_n']:=(m-n)\cdot L_{m+n}' + \frac{c m^3}{12}\delta_{m+n,0}$,

das heißt, man kann den linearen Term des zentralen Anteils der Kommutatorrelationen zum Verschwinden bringen.

Äquivalenzen

Zwei zentrale Erweiterungen der Witt-Algebra $0 \rightarrow K\cdot c \, \stackrel{i_1}{\rightarrow}\, V_1 \, \stackrel{p_1}{\rightarrow} \, W \rightarrow 0$ und $0 \rightarrow K\cdot c \, \stackrel{i_2}{\rightarrow}\, V_2 \, \stackrel{p_2}{\rightarrow} \, W \rightarrow 0$ heißen äquivalent, wenn es einen Lie-Algebren-Isomorphismus $\phi:V_1\to V_2$ gibt mit $i_2 = \phi\circ i_1$ und $p_1 = p_2\circ \phi$ gibt.

Man kann zeigen, dass es bis auf Äquivalenz nur eine zentrale Erweiterung $0 \rightarrow K\cdot c \rightarrow V \rightarrow W \rightarrow 0$ gibt, die nicht äquivalent zu einer semidirekten Summe $K\cdot c \oplus W$ ist, nämlich die oben eingeführte Virasoro-Algebra.

Quellen

Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5