Wahrheitswertefunktion

Eine Wahrheitswertefunktion (kurz: Wahrheitsfunktion) ist eine Funktion im mathematischen Sinn, die Wahrheitswerte auf Wahrheitswerte abbildet. Formal gesprochen ist der Wertebereich einer Wahrheitswertefunktion die Menge der Wahrheitswerte, in der klassischen Logik also die Menge der zwei Wahrheitswerte { wahr, falsch }. Ihr Definitionsbereich ist bei einer einstelligen Wahrheitsfunktion ebenfalls die Menge der Wahrheitswerte; bei einer n-stelligen Wahrheitsfunktion ist der Definitionsbereich die Menge aller n-Tupel aus Wahrheitswerten.

Beispiel: Der Wahrheitswert des Satzes "Peter kommt und die Queen kommt" ist abhängig von dem Wahrheitswert des Teilsatzes 'Peter kommt' (p) und des Teilsatzes 'die Queen kommt' (q). Der Satz "p und q" ist wahr, wenn sowohl p als auch q wahr sind, ansonsten falsch.

In unserem Beispiel bezieht die Funktion also 2 Argumente (p,q) und bildet so als 2-stellige Wahrheitsfunktion 2-Tupel oder Paare ab in der Wahrheitsmenge {w,f}, die nur zwei Werte hat („wahr“: trifft zu; „falsch“: trifft nicht zu). Da die Basis zweiwertig ist, sind für die 2-stellige Funktion nur die vier Tupel (w,w), (w,f), (f,w) und (f,f) möglich. Ein jedes dieser Tupel kann nun mit W oder F gewertet werden, dem Funktionswert - womit es dann 16 verschiedene 2-stellige zweiwertige Wahrheitsfunktionen gibt.

Eine davon ist diese, die für die beiden Teilsätze (p,q) dem 2-Tupel (w,w) - beide Argumente sind wahr - den Funktionswert W zuordnet - der Satz ist wahr - und den übrigen Tupeln (w,f), (f,w) und (f,f) je den Funktionswert F, in dieser Reihenfolge demnach: WFFF.
Diese Wahrheitsfunktion heißt et(p,q) oder AND oder Konjunktion; ihr Zusammenhang "und" wird als ein "sowohl-alsauch" wiedergegeben: nur beides, sonst nicht.

Der Verhalt einer 2-stelligen zweiwertigen Wahrheitsfunktion ergibt sich also aus den zugeordneten Wahrheitswerten für die 4 Stellungen der Teilverhalte _ beides (w,w), _ nur dieses (w,f), _ nur jenes (f,w), _ keines (f,f). In dieser Weise stellt die Belegung WFWW nun eine andere Wahrheitsfunktion auf, die seq(p,q) oder (materiale) Implikation oder Konditional heißt; ihr Zusammenhang wird als hinreichende Bedingung aufgefasst und häufig durch "wenn, dann" ausgedrückt.
Diese seq-Funktion bestimmt den Wahrheitswert des Satzes "wenn Peter kommt, dann kommt die Queen" als falsch, wenn (p) wahr ist (Peter kommt) sowie (q) falsch ist (doch kommt die Queen nicht), ansonsten aber als wahr - also auch dann, wenn Peter nicht kommt aber die Queen kommt und auch dann, wenn keiner von beiden kommt.

Gegenbeispiel: Der Wahrheitswert des Satzes "Peter kommt, weil die Queen kommt" ist keine Funktion der Wahrheitswerte der Teilsätze (p) und (q) – weil auch dann, wenn (p) wahr ist (Peter kommt) und auch (q) wahr ist (die Queen kommt), damit ja noch nicht feststeht, dass Peter kommt, weil die Queen kommt, aus eben diesem Grund.
"Weil" ist so nicht als eine wahrheitsfunktionale Verknüpfung der Teilsätze darzustellen; für die kausale Begründung braucht es denn einen weiteren Zusammenhang.

Eine einfache Möglichkeit, eine Wahrheitswertefunktion für endlich viele Wahrheitswerte zu definieren, ist die Wahrheitstabelle.

Vermöge der Zuordnung W|→1 und F|→0 (oder umgekehrt) entspricht einer jeden zweiwertigen Wahrheitswertefunktion eine Boolesche Funktion, die sich in einer Schaltalgebra darstellen lässt. Beispielsweise kann die Wahrheitsfunktion aut(p,q) angegeben als FWWF so mit 0110 als Boolesche Funktion verstanden und durch ein XOR-Gatter realisiert werden.
Die folgende Übersicht zeigt die 16 möglichen Belegungsmuster 2-stelliger zweiwertiger Wahrheitswertefunktionen durch die Werte 0 und 1 ("p" und "q" seien Aussagen; "1" stehe hier für eine wahre, "0" für eine falsche Aussage und f( ) entspreche einem Wahrheitswertefunktor, der die Aussagen p, q zu einer neuen Aussage f(p,q) verbindet):

$\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} & & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ p & q & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) & f\!(\!p\!,\!q\!) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$

Weniger übersichtlich würden sich die 19683 möglichen Belegungsmuster 2-stelliger dreiwertiger Wahrheitswertefunktionen zeigen lassen (die Aussagen "p" und "q" wären dann neben "1" und "0" für wahr und für falsch noch einem dritten Wert zugeordnet, beispielsweise "u" für unbestimmt). Dafür müssten in den ersten beiden Spalten statt 2²=4 dann 3³=27 Zeilen abgetragen werden, die jeweils die bestimmte Belegung einer 1-stelligen Wahrheitswertefunktion angeben.

Siehe auch: Junktor, Wahrheitswert, Wahrheitstabelle, Boolesche Algebra