Waringsches Problem

Das Waringsche Problem ist eine Problemstellung der Zahlentheorie. Es verallgemeinert den Vier-Quadrate-Satz, der besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens vier Quadratzahlen dargestellt werden kann. In seinem Werk Meditationes algebraicae (1770) stellte Edward Waring die Vermutung auf, dass es eine solche Höchstzahl für alle Exponenten k geben müsse. Das Waringsche Problem gilt heute als gelöst.

Das Waringsche Problem

Warings Verallgemeinerung besagt, dass zu jedem natürlichen Exponenten k eine natürliche Zahl g existiert, so dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens g k-ten Potenzen dargestellt werden kann. Mit anderen Worten: Es geht darum, die kleinste Anzahl von Summanden anzugeben, die notwendig ist, so dass jede natürliche Zahl als Summe von Zahlen mit dem Exponenten k darstellbar ist. Beispielsweise besagt der Vier-Quadrate-Satz, dass jede natürliche Zahl durch eine Summe von höchstens vier Quadratzahlen (also g=4 und k=2) darstellbar ist.

g(2) = 4, z.B. 7 = 2²+ 1² + 1² + 1²

Beweise

Warings Vermutung, dass eine Zahl g zu jedem k existiert, also eine Höchstanzahl von Summanden für alle Exponenten findbar ist, wurde 1909 von David Hilbert bewiesen.^[1] Die Aussage wird deshalb manchmal auch als Satz von Waring-Hilbert bezeichnet. Der Hilbertsche Beweis wurde 1912 durch Robert Remak und E. Stridsberg vereinfacht.^[2] Einen elementaren Beweis für das Waringsche Problem, der andere Ideen als Hilbert nutzte, lieferte 1942 Juri Wladimirowitsch Linnik mithilfe von Ergebnissen von Lew Schnirelman.^[3]

Die kleinstmögliche Zahl g für einen Exponenten k bezeichnet man als g(k). Es ist g(1) = 1. Berechnungen zeigen, dass die Zahl 7 vier Quadrate benötigt, 23 benötigt 9 Kubikzahlen, und 79 benötigt 19 vierte Potenzen. Waring vermutete, dass diese Werte die bestmöglichen sind, also g(2) = 4, g(3) = 9 und g(4) = 19.

Durch den Vier-Quadrate-Satz ist g(2) = 4 bewiesen. Dass g(3) = 9 ist, wurde in den Jahren 1909 bis 1912 von Arthur Wieferich und Aubrey J. Kempner (1880–1973) bewiesen.^[4][5] Edmund Landau konnte ebenfalls bereits im Jahr 1909 zeigen, dass nur endlich viele natürliche Zahlen neun Kuben benötigen,^[6] jede hinreichend große Zahl also als Summe von acht oder weniger Kuben darstellbar ist, und Leonard E. Dickson fand 1939, dass 23 und 239 die beiden einzigen Zahlen sind, welche tatsächlich neun Kuben benötigen.^[7] Schon Arthur Wieferich vermutete, dass tatsächlich nur 15 Zahlen acht und nur 121 Zahlen sieben Kuben benötigen.^[8] Heute wird allgemein angenommen, dass man nur für Zahlen ≤ 454 acht Kuben, für Zahlen ≤ 8.042 sieben Kuben und für Zahlen ≤ 1.290.740 sechs Kuben benötigt, alle hinreichend großen Zahlen also als Summe von fünf Kuben darstellbar sind.^[9] Den Beweis des Sieben-Kuben-Satzes konnte als erster 1941 Juri Linnik führen,^[10] von George Leo Watson wurde er 1951 deutlich vereinfacht.^[11] g(4) = 19 wurde 1986 von Ramachandran Balasubramanian, François Dress und Jean-Marc Deshouillers gezeigt.^[12] Bereits seit 1939 weiß man außerdem, dass jede hinreichend große Zahl als Summe von sechzehn Biquadraten darstellbar ist, die Menge der Zahlen, die tatsächlich 17, 18 oder 19 Viererpotenzen benötigen, also endlich ist.^[13] Dieser Wert kann nicht verbessert werden.^[14] g(5) = 37 wurde im Jahr 1964 von Chen Jingrun nachgewiesen.^[15] S. Sivasankaranarayana Pillai zeigte 1940, dass g(6) = 73.^[16] Und Leonard E. Dickson 1937, dass g(7) = 143.

Lösungsformel

Durch die Arbeiten von Dickson, Pillai, R. K. Rubugunday und Ivan M. Niven sind nun alle anderen g(k) ebenfalls bekannt.^{[17][18][19][20]} Ihre Formel umfasst zwei Fälle, wobei vermutet wird, dass der zweite Fall für kein k auftritt. Für den ersten Fall lautet die Formel:

$g(k) = \left \lfloor \left(\frac{3}{2} \right)^k \right \rfloor +2^k - 2$, für $k \geq 1$.

g(k) 1 4 9 19 37 73 143 279 548 1079 ...
k    1 2 3  4  5  6   7   8   9   10 ...

(Folge A002804 in OEIS)

Für größere k kann die Anzahl auch mit g(k) ≈ 2^k abgeschätzt werden.

Kleinste Zahl a(k)

Die jeweils kleinste Zahl a, die die maximale Anzahl g an Summanden benötigt

a(k) 1 7 23 79 223 703 2175 6399 19455 58367 ...
g(k) 1 4  9 19  37  73  143  279   548  1079 ...
k    1 2  3  4   5   6    7    8     9    10 ...

(Folge A018886 in OEIS)

Beispiel für k=3: Demnach ist jede Zahl darstellbar als Summe von höchstens 9 Dreierpotenzen (Kuben). 23 ist die erste Zahl, die zu ihrer Darstellung neun Kuben benötigt (2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³+ 1³).

Quellen und Literatur

• Edward Waring: Meditationes algebraicae. Cambridge ³1782.
• Dennis Weeks (Hg.): Meditationes algebraicae. An English translation of the work of Edward Waring. Providence: American Mathematical Society, 1991. (ISBN 0821801694)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Waring's Problem Auf: MathWorld. A Wolfram Web Resource. (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ David Hilbert: Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem). In: Mathematische Annalen 67 (1909), S. 281-300. Vgl. Erhard Schmidt: Zum Hilbertschen Beweise des Waringschen Theorems. (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe.) In: Mathematische Annalen 74 (1913), Nr. 2, S. 271-274.
2. ↑ E. Stridsberg: Sur la démonstration de M. Hilbert du théorème de Waring. In: Mathematische Annalen 72 (1912), S. 145-152; Robert Remak: Bemerkung zu Herrn Stridsberg's Beweis des Waringschen Theorems. In: Mathematische Annalen 72 (1912), S. 153-156.
3. ↑ Juri Wladimirowitsch Linnik: Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана. [= Elementarnoe rešenie problemy Waring’a po metodu Šnirel’mana. (Elementare Lösung des Waringschen Problems mit Schnirelmans Methode.)] In: Recueil Mathématique. Mатематический Сборник [= Matematičeskij Sbornik (Mathematische Sammlung)] N. F. 12/54 (1943), Nr. 2, S. 225–230.
4. ↑ Arthur Wieferich: Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt. In: Mathematische Annalen 66 (1909), S. 95-101.
5. ↑ Aubrey John Kempner: Bemerkungen zum Waringschen Problem. In: Mathematische Annalen 72 (1912), S. 387–399.
6. ↑ Edmund Landau: Über eine Anwendung der Primzahltheorie auf das Waringsche Problem in der elementaren Zahlentheorie. In: Mathematische Annalen 66 (1909), S. 102-105.
7. ↑ Leonard Eugene Dickson: All integers except 23 and 239 are sums of eight cubes. In: Bulletin of the American Mathematical Society 45 (1939), S. 588-591.
8. ↑ Wieferich: Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt. (a. a. O.), hier S. 95: „Tabellen der kleinsten Anzahlen von positiven Kuben, in die sich die ganzen Zahlen zerlegen lassen, sind [...] für die Zahlen bis 40.000 aufgestellt worden. Aus ihnen ergab sich, daß bis zur Grenze 40.000 hin alle Zahlen größer als 239 sich durch höchstens 8, oberhalb 454 durch höchstens 7 und oberhalb 8.042 durch höchstens 6 Kuben darstellen lassen, so daß vermutlich über eine gewisse Grenze (8.042) hinaus eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens 6 Kuben darstellbar ist.“
9. ↑ Vgl. W. S. Baer: Über die Zerlegung der ganzen Zahlen in sieben Kuben. In: Mathematische Annalen 74 (1913), Nr. 4, S. 511-514. – François Bertault; Olivier Ramaré; Paul Zimmermann: On sums of seven cubes. In: Mathematics of Computation 68 (1999), Nr. 227, S. 1303-1310.
10. ↑ Juri Wladimirowitsch Linnik: On the representation of large numbers as sums of seven cubes. (О разложении больших чисел на семь кубов. [= O razloženii bol’šich čsel na sem’ kubov. (Über die Darstellung großer Zahlen als Summe von sieben Kuben.)]) In: Comptes Rendus (Doklady) de l'Académie des Sciences de l'URSS N. F. 35 (1942), Nr. 6, S. 162 ff. Auch in: Recueil Mathématique. Математический Сборник [= Matematičeskij Sbornik (Mathematische Sammlung)] N. F. 12/54 (1943), Nr. 2, S. 218-224.
11. ↑ George Leo Watson: A proof of the seven cubes theorem. In: Journal of the London Mathematical Society 26 (1951), S. 153-156.
12. ↑ Ramachandran Balasubramanian; Jean-Marc Deshouillers; François Dress: Problème de Waring pour les bicarrés. In: Comptes rendus de l'Académie des sciences, Série I: Mathematique 303 (1986), Nr. 4, S. 85-88, Nr. 5, S. 161-163.
13. ↑ Harold Davenport: On Waring's Problem for Fourth Powers. In: Annals of Mathematics 40 (1939), Nr. 4, S. 731-747.
14. ↑ Kempner: Bemerkungen zum Waringschen Problem. (a. a. O.), hier S. 395-396 (§ 4. Es kommen in der natürlichen Zahlreihe immer wieder Zahlen vor, die mindestens 16 positive Biquadrate erfordern).
15. ↑ Chen Jingrun: Waring's Problem for g(5) = 37. In: Scientia Sinica 13 (1964), S. 1547-1568. Auch in: Chinese Mathematics. Acta Scientiarum Mathematicarum 6 (1965), S. 105-127.
16. ↑ Subbayya Sivasankaranarayana Pillai: On Waring's problem g(6) = 73. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences A 12 (1940), S. 30-40.
17. ↑ Leonard Eugene Dickson: The Waring Problem and its generalizations. In: Bulletin of the American Mathematical Society 42 (1936), S. 833-842.
18. ↑ Subbayya Sivasankaranarayana Pillai: On Waring's Problem. In: Journal of the Indian Mathematical Society 2 (1936), Nr. 2, S. 16-44; vgl. Sarvadaman Chowla: Pillai's Exact Formulae for the Number g(n) in Waring's Problem. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences A 4 (1936), S. 261.
19. ↑ Shri Raghunath Krishna Rubugunday: On g(k) in Waring's problem. In: Journal of the Indian Mathematical Society 6 (1942), Nr. 2, S. 192-198.
20. ↑ Ivan Morton Niven: An unsolved case of the Waring Problem. In: American Journal of Mathematics 66 (1944), S. 137-143.