Temperaturleitfähigkeit

Die Temperaturleitfähigkeit oder Temperaturleitzahl^[1], gelegentlich auch „Wärmediffusivität“ (von englisch thermal diffusivity), ist eine Materialeigenschaft, die zur Beschreibung der zeitlichen Veränderung der räumlichen Verteilung der Temperatur durch Wärmeleitung als Folge eines Temperaturgefälles dient. Sie ist verwandt mit der Wärmeleitfähigkeit λ, die zur Beschreibung des Energietransportes dient.

Definition und Einheit

Die Temperaturleitfähigkeit ist definiert als:

$a = \frac{\lambda}{\rho \cdot c_p}$

mit den physikalischen Größen: Wärmeleitfähigkeit λ, Dichte ρ und spezifischen Wärmekapazität c_p. Sie hat die Einheit m² / s.

Die Stoffeigenschaft „Temperaturleitfähigkeit“ ist temperaturabhängig, wie auch die Wärmeleitfähigkeit λ, die Dichte ρ und die spezifische Wärme c_p.

Wärmeleitungsgleichung

Die räumliche und zeitliche Verteilung der Temperatur T(x,t) in einem Körper lässt sich über die fouriersche Differentialgleichung (nach J. B. J. Fourier) berechnen. Sie geht in ersten Überlegungen bereits auf Newton zurück, und drückt mathematisch einen einfachen Sachverhalt aus: Die Veränderung des Wärmeinhaltes eines Raumgebietes fließt als Wärmestrom durch dessen Hülle. Oder etwas weniger mathematisch ausgedrückt: Was im Inneren eines Körpers an Wärme verloren geht, fließt als Wärmestrom durch die Oberfläche des Körpers in die Umgebung ab und umgekehrt.

Für isotrope Körper mit inhomogener Wärmeleitfähigkeit aber konstanter Wärmekapazität pro Volumen gilt^[2]:

$\frac{\partial T(\vec x,t)}{\partial t}\ = \nabla \left[ a(\vec x,T)\,. \nabla T(\vec x,t) \right]$

In der mathematischen Symbolik bedeuten:

x: Ortsvektor (in der Gleichung symbolisiert durch den Vektorpfeil über der Ortsvariablen x)

$\nabla$ : Nabla-Operator. Er ist eine spezielle Differenziervorschrift bezüglich der Ortsableitungen, die in unterschiedlicher Weise auf skalare Größen, Vektoren und Operatoren angewendet werden kann.

Für homogene, isotrope Medien (also wärmetransportierende Stoffe, die überall gleiche Zusammensetzung zeigen, und die in keine Raumrichtung charakteristisch veränderte Eigenschaften zeigen), vereinfacht sich die Wärmeleitungsgleichung unter Annahme einer von der Temperatur unabhängigen Temperaturleitfähigkeit zu:

$\frac{\partial T(\vec x,t)}{\partial t}\ = a \cdot\Delta T(\vec{x},t)$.

In der mathematischen Symbolik bedeutet:

Δ: Laplace-Operator. Auch er ist eine spezielle Differenziervorschrift bezüglich der Ortsableitungen, die hier auf die skalare Größe „Temperatur“ angewendet wird.

Die Differentialgleichung heißt „Wärmeleitungsgleichung“ und beschreibt generell Transportprozesse (wie z. B. Diffusionsprozesse – worunter man einen Materialtransport auf Grund eines Konzentrationsunterschiedes versteht, oder im Fall der Wärmeleitungsgleichung eben ein „Wandern“ der Temperaturverteilung in einem Körper auf Grund eines Temperaturgefälles). Mathematisch betrachtet ist die Temperaturleitfähigkeit daher der „Transportkoeffizient des Wärmeleitproblems“. Streng genommen gelten die beiden angegebenen Varianten der Wärmeleitungsgleichung nur so lange keine Fremdeffekte Wärme in den betrachteten Körper einbringen oder aus ihm entfernen. Ist das der Fall, müsste ein sog. Quellterm hinzugefügt werden. Die analytische Lösung dieser Gleichung ist in vielen Fällen nicht möglich. Heute berechnet man technisch relevante Wärmeleitaufgaben mit Hilfe von Finite-Element-Programmen. Als Resultat erhält man die zeitliche wie räumliche Temperaturverteilung (Temperaturfeld). Damit kann man z. B. auf das räumliche Ausdehnungsverhalten der Bauteile schließen, das seinerseits wieder den örtlichen Spannungszustand mitbestimmt. So wird die Temperaturfeldrechnung zu einer wichtigen Grundlage für alle technischen Auslegungsaufgaben, bei denen die thermischen Bauteilbelastung nicht vernachlässigt werden kann.

Temperaturleitfähigkeit ausgewählter Metalle bei 20 °C Dichte (ρ) in 103 kg·m−3 spezifische Wärmekapazität (cp) in kJ/(kg·K) Wärmeleit- fähigkeit (λ) in W/(m·K) Temperatur- leitfähigkeit (a) in 10−6 m2/s Aluminium 2,7 0,888 237 98,8 Blei 11,34 0,129 35 23,9 Bronze 8,8 0,377 62 18,7 Chrom 6,92 0,44 91 29,9 Cr-Ni-Stahl (X12CrNi18,8) 7,8 0,5 15 3,8 Eisen 7,86 0,452 81 22,8 Gold 19,26 0,129 316 127,2 Gusseisen 7,8 0,54 42…50 10…12 Stahl (< 0,4 % C) 7,85 0,465 45…55 12…15 Kupfer 8,93 0,382 399 117 Magnesium 1,74 1,02 156 87,9 Mangan 7,42 0,473 21 6 Molybdän 10,2 0,251 138 53,9 Natrium 0,97 1,22 133 112 Nickel 8,85 0,448 91 23 Platin 21,37 0,133 71 25 Silber 10,5 0,235 427 173 Titan 4,5 0,522 22 9,4 Wolfram 19 0,134 173 67,9 Zink 7,1 0,387 121 44 Zinn, weiß 7,29 0,225 67 40,8 Silicium 2,33 0,700 148 87

Temperaturleitfähigkeit ausgewählter Nichtmetalle bei 20 °C Dichte (ρ) in 103 kg·m−3 spezifische Wärmekapazität (cp) in kJ/(kg·K) Wärmeleit- fähigkeit (λ) in W/(m·K) Temperatur- leitfähigkeit (a) in 10−6 m2/s Acrylglas (Plexiglas) 1,18 1,44 0,184 0,108 Asphalt 2,12 0,92 0,70 0,36 Beton 2,4 0,88 2,1 0,54 Eis (0 °C) 0,917 2,04 2,25 1,203 Erdreich (grobkiesig) 2,04 1,84 0,52 0,14 Sandboden (trocken) 1,65 0,80 0,27 0,20 Sandboden (feucht) 1,75 1,00 0,58 0,33 Tonboden 1,45 0,88 1,28 1,00 Fensterglas 2,48 0,70 0,87 0,50 Spiegelglas 2,70 0,80 0,76 0,35 Quarzglas 2,21 0,73 1,40 0,87 Glaswolle 0,12 0,66 0,046 0,58 Gips 2,2 bis 2,4 1,09 0,51 0,203 Granit 2,75 0,89 2,9 1,18 Kohlenstoff (Graphit) 2,25 0,709 119…165 74…103 Korkplatten 0,19 1,88 0,041 0,115 Marmor 2,6 0,80 2,8 1,35 Mörtel 1,9 0,80 0,93 0,61 Papier 0,7 1,20 0,12 0,14 Polyethylen 0,92 2,30 0,35 0,17 Polytetrafluorethylen 2,20 1,04 0,23 0,10 Polyvinylchlorid 1,38 0,96 0,15 0,11 Porzellan (95 °C) 2,40 1,08 1,03 0,40 Schwefel 1,96 0,71 0,269 0,193 Steinkohle 1,35 1,26 0,26 0,15 Tannenholz (radial) 0,415 2,72 0,14 0,12 Verputz 1,69 0,80 0,79 0,58 Ziegelstein 1,6…1,8 0,84 0,38…0,52 0,28…0,34 Luft 0,0013 1,01 0,026 20

Siehe auch

• Thermodiffusion
• Wärmeeindringkoeffizient

Einzelnachweise

1. ↑ Der Begriff: „Zahl“ sollte vermieden werden, da es sich ja nicht um eine dimensionslose Verhältniszahl, sondern um eine Zahl mit einer Maßeinheit m² / s handelt
2. ↑ John H. Lienhard IV and John H. Lienhard V: A Heat Transfer Textbook, 3rd edition, 2001, S. 55, Gl. 2.10