Parabolische partielle Differentialgleichung

Parabolische partielle Differentialgleichungen sind eine spezielle Klasse partieller Differentialgleichungen (PDG) zweiter oder höherer Ordnung, die bei der Beschreibung einer breiten Palette wissenschaftlicher Probleme zur Anwendung kommen. Es handelt sich dabei um sogenannte Evolutionsprobleme, in denen eine „Zeitvariable“ auftaucht und die Entwicklung in der „Zeit“ über eine Ableitung erster Ordnung beschrieben wird. Die Lösungen parabolischer Differentialgleichungen verhalten sich häufig wie die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung, die die Wärmeleitung in Festkörpern oder die Diffusion in Flüssigkeiten und Gasen beschreibt.

Verallgemeinert man die Wärmeleitungsgleichung, erhält man die wichtige Klasse linearer parabolischer PDG zweiter Ordnung. Diese finden zusätzlich Anwendung bei der Berechnung der Ausbreitung von Schall im Meer oder der Entwicklung von Aktienoptionen (Black-Scholes-Modell). Im Folgenden werden nur parabolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung betrachtet.

Definition im linearen Fall

Parabolische Differentialgleichung in zwei Dimensionen

Die allgemeine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung mit zwei Variablen

$a(x,y) \frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2} + b(x,y) \frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x \partial y} + c(x,y) \frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y^2} + d(x,y) \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} + e(x,y) \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} + f(x,y)u(x,y) = 0$

heißt parabolisch im Punkt (x,y), wenn die Koeffizientenfunktionen der höchsten Ableitungen im Punkt (x,y) die Bedingung

$a(x,y) c(x,y) - \left(\frac{b(x,y)}{2}\right)^2 = 0$

erfüllen. Dies bedeutet, dass die Determinante der Koeffizienten-Matrix

$\begin{pmatrix} a(x,y)& \frac{b(x,y)}{2} \\ \frac{b(x,y)}{2}&c(x,y) \end{pmatrix}$

im Punkt (x,y) den Wert 0 annimmt. Der Ursprung der Bezeichnung parabolisch kommt von der Analogie der obigen Koeffizientenbedingung zu der allgemeinen Kegelschnittgleichung. Analoge Einteilungen existieren für elliptische und hyperbolische Differentialgleichungen, siehe Partielle Differentialgleichung#Einteilung nach Grundtypus.

Parabolische Differentialgleichung in n Dimensionen

Eine Verallgemeinerung auf mehrere Variablen ist die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

$L u =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j}(\vec{x}) \frac{\part^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \quad \hbox{ + Terme niedrigerer Ordnung der Ableitung} =0. \,$

In Verallgemeinerung des zweidimensionalen Falls bezeichnet man die Differentialgleichung als parabolisch im Punkt $\vec{x}$, falls die Koeffizientenmatrix $( a_{i,j}(\vec{x}) )_{i,j}$ singulär ist. Dies bedeutet, dass mindestens ein Eigenwert der Koeffizientenmatrix verschwindet.

Anfangs- und Randwerte

Meist betrachtet man parabolische Differentialgleichungen entsprechend ihrer Struktur in „Raum“- und „Zeit“-Variablen als ein kombiniertes Anfangs- und Randwertproblem. Wird die Lösung u(t,x) im Innern eines räumlichen Gebiets G für Zeiten t > 0 gesucht, so gibt man die Anfangswerte zur Zeit t = 0 durch eine Funktion f(x)

$u(x,0) = f (x) \quad \forall x \in G$

vor, die Randwerte auf dem Rand $\partial G$ des räumlichen Gebiets G werden für Zeiten t > 0 durch eine Funktion g(x,t) (oder deren erste räumliche Ableitung)

$u(x,t) = g (x,t) \quad \forall x \in \partial G , t > 0$

vorgegeben.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel einer parabolischen Differentialgleichung ist die Wärmeleitungsgleichung in einer Raumdimension:

$\frac{\partial}{\partial t} u(x,t)=a\frac{\partial^2}{\partial x^2} {u(x,t)}.$

Hierbei ist u(x,t) die Temperatur am Ort x zur Zeit t, die Konstante a bezeichnet die Temperaturleitfähigkeit.

Literatur

• Gerhard Dziuk: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen. de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, Seite 183-253.
• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-0772-9 (Graduate studies in mathematics 19), Seite 368-397.