Bernsteinpolynom

Die Bernsteinpolynome (nach Sergei Natanowitsch Bernstein) sind eine besondere Familie reeller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.

Nutzen und Geschichte

Die Bernsteinpolynome haben ihren Ursprung in der Approximationstheorie. Mit ihrer Hilfe konnte ihr Entdecker Bernstein im Jahre 1911 einen konstruktiven Beweis für den Approximationssatz von Weierstraß angeben. Ende der 1950er Jahre gab es erste Versuche, auf Bernsteinpolynomen basierende Methoden im Design von Kurven und Flächen einzusetzen. Paul de Faget de Casteljau bei Citroën und Pierre Bézier bei Renault nutzten die Bernsteinpolynome bei ihrer Entwicklung von Bézierkurven und legten damit den Grundstein des heutigen Computer Aided Design (CAD).

Definition

Für $n\in\N_0$ heißen die reellen Polynome

$B_{i,n}:\R \to \R,\; t \mapsto {n \choose i}\, t^i\, (1-t)^{n-i}$

(mit $0\leq i\leq n$) die Bernsteinpolynome vom Grad n.

Durch affine Transformation (Abbildung des Intervalls [0,1] auf ein beliebiges Intervall [a,b]) erhält man die verallgemeinerten Bernsteinpolynome

$B_{i,n}^{[a,b]}:\R \to \R,\; t \mapsto \frac{1}{(b-a)^n} {n \choose i} (t-a)^i\, (b-t)^{n-i}$.

Dabei bezeichnet

${n \choose i} = \frac{n!}{i! (n-i)!}$

den Binomialkoeffizienten.

Beispiel

Die folgende Abbildung zeigt die Bernsteinpolynome B_i,4, $0\leq i\leq 4$ vom Grad 4:

Eigenschaften

Die Bernsteinpolynome bezüglich des Intervalls [0,1] haben folgende Eigenschaften:

• Basiseigenschaft: Die Bernsteinpolynome $\{B_{i,n}:0\leq i\leq n\}$ sind linear unabhängig und bilden eine Basis von Π_n, dem Raum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich n.
• Positivität:

  B_i,n(t) > 0 für alle $t \in (0,1)$.

• Extrema: B_i,n besitzt im Intervall [0,1] genau ein (absolutes) Maximum. Es befindet sich an der Stelle $t = \frac{i}{n}$. Man erhält insbesondere:

  B_0,n(0) = B_n,n(1) = 1

• Zerlegung der Eins (auch Partition der Eins):

  $\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) = \sum_{i=0}^n{n \choose i} t^i (1-t)^{n-i} = 1$

(Ergibt sich mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes aus (t + (1 − t))ⁿ.)

• Symmetrie:

  B_i,n(t) = B_{n − i,n}(1 − t)

• Rekursionsformel:

  $B_{i,n}(t) = (1-t) \cdot B_{i,n-1}(t) + t \cdot B_{i-1,n-1}(t)$, mit der Definition

  B_i,n: = 0 für i < 0 oder i > n

  B_0,0: = 1

• Gradanhebung:

  $B_{i,n}(t) = \frac{i+1}{n+1} \cdot B_{i+1,n+1}(t) + \frac{n+1-i}{n+1} \cdot B_{i,n+1}(t)$

• Ableitungen:

  $B'_{i,n}(t) = n \left[ B_{i-1,n-1}(t) - B_{i,n-1}(t) \right]$, mit der Definition

  B _{− 1,n − 1} = B_{n,n − 1}: = 0

Approximation durch Bernsteinpolynome

Für eine Funktion $f: [0,1] \to \R$ heißt das durch $B_n(f)(t) = \sum_{i=0}^n B_{i,n}(t)\cdot f\left(\frac{i}{n}\right)$ definierte Polynom B_n(f) das n-te Bernsteinpolynom der Funktion f.

Ist f eine stetige Funktion auf dem Interval [0,1], so konvergiert die Folge ihrer Bernsteinpolynome B_n(f) gleichmäßig gegen f.

Der Beweis dieses Satzes kann mit Hilfe des schwachen Gesetzes der Großen Zahlen durchgeführt werden.

Weblinks

• Bernsteinpolynome (Applet)

Literatur

• Bernstein, S.N., Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités, Commun. Soc. Math. Kharkow, Vol. 12, No. 2, pp. 1-2, 1912/1913.