Normierte Algebra

Der mathematische Begriff "normierte Algebra" bezeichnet eine bestimmte algebraische Struktur, auf der zusätzlich eine verträgliche Norm erklärt ist.

Definition

Eine normierte Algebra ist ein Paar $(A,\|\cdot\|)$ bestehend aus einer $\mathbb{K}$-Algebra A, wobei $\mathbb{K}$ für den Körper der reellen oder komplexen Zahlen steht, und einer auf A definierten Norm $\|\cdot\|:A\rightarrow \R$, so dass folgendes gilt ^[1]:

• $\|a\| = 0 \Leftrightarrow a=0$ für alle $a\in A$
• $\|\lambda a\| = |\lambda|\cdot \|a\|$ für alle $\lambda \in \mathbb{K}$ und $a\in A$ (Homogenität)
• $\|a+b\| \le \|a\| + \|b\|$ für alle $a,b\in A$ (Dreiecksungleichung)
• $\|a\cdot b\| \le \|a\| \cdot \|b\|$ für alle $a,b\in A$

Die ersten drei Normbedingungen machen A zu einem normierten $\mathbb{K}$- Vektorraum. Die letzte multiplikative Normbedingung ist die zur additiven Dreiecksungleichung analoge Bedingung für die Multiplikation, manche Autoren sprechen daher auch von der multiplikativen Dreiecksungleichung.

Beispiele

• Die wichtigsten Beispiele normierter Algebren sind die Banachalgebren, also diejenigen, die bezüglich ihrer Norm vollständig sind.
• Der Körper $\mathbb{K}$ mit dem Betrag als Norm ist eine normierte Algebra.
• Die Algebra $\mathbb{K}[X]$ aller Polynome in einer Unbestimmten mit der durch $\textstyle \|p\| := \sup_{x\in [0,1]}|p(x)|$ definierten Norm ist eine nicht-vollständige normierte Algebra.

Eigenschaften

• Die Norm definiert eine Topologie auf der normierten Algebra A, die sogenannte Normtopologie. Aus den Eigenschaften der Norm ergibt sich sofort, dass die algebraischen Operationen stetig sind: Ist $a_n\rightarrow a$ und $b_n\rightarrow b$ sowie $\lambda_n\rightarrow \lambda$ mit $a_n,a,b_n,b\in A$ und $\lambda_n,\lambda \in \mathbb{K}$, so folgt $\lambda_n a_n \rightarrow \lambda a$, $a_n + b_n \rightarrow a + b$ und $a_n \cdot b_n \rightarrow a \cdot b$ jeweils für $n\to\infty$ bezüglich der Normtopologie auf A.
• Die algebraischen Operationen und die Norm setzen sich eindeutig stetig auf die Vervollständigung einer normierten Algebra fort; diese Vervollständigung ist dann eine Banachalgebra. Damit ist jede normierte Algebra dicht in einer Banchalgebra enthalten.

Anwendungen

Die normierten Algebren haben bei weitem nicht die Bedeutung wie die Banachalgebren. Manche Konstruktionen in der Theorie der Banachalgebren führen allerdings zunächst auf normierte Algebren, die dann in einem anschließenden Konstruktionsschritt vervollständigt werden; als Beispiele seien die AF-Algebren als Vervollständigung induktiver Limiten, das maximale Tensorprodukt von C*-Algebren oder die Bildung der L¹(G)-Algebren in der harmonischen Analyse als Vervollständigung der entsprechenden Algebren stetiger Funktionen mit kompaktem Träger genannt.

Viele Sätze aus der Theorie der Banachalgebren verlieren für normierte Algebren ihre Gültigkeit, was die Bedeutung der Vollständigkeit beleuchtet. In obigem Beispiel $\mathbb{K}[X]$ ist die Punktauswertung $\mathbb{K}[X] \rightarrow \mathbb{K},\, p\mapsto p(2)$ ein unstetiger Homomorphismus. Ist $p \in \mathbb{K}[X]$ ein nicht-konstantes Polynom, so ist $\sigma_{\mathbb{K}[X]}(p)$, definiert als die Menge aller $\lambda \in \mathbb{K}$, so dass λ1 − p nicht invertierbar ist, gleich ganz $\mathbb{K}$, insbesondere also nicht kompakt. Beide Phänomene können bei Banachalgebren nicht auftreten.

Lokale Banachalgebren

Für manche Anwendungen kommt man mit einer abgeschwächten Vollständigkeitseigenschaft aus. Eine normierte Algebra A heißt lokale Banachalgebra, wenn sie bezüglich des holomorphen Funktionalkalküls abgeschlossen ist.^[2] Genauer bedeutet dies: Sind $a\in A$, σ(a) das bezüglich der Vervollständigung $\overline{A}$ gebildete Spektrum und f eine in einer Umgebung von σ(a) definierte holomorphe Funktion (mit f(0) = 0, falls A kein Einselement hat), so liegt f(a) in A. (Nach dem holomorphen Funktionalkalkül kann f(a) in $\overline{A}$ gebildet werden.)

Ist beispielsweise X ein lokalkompakter Hausdorffraum, so ist die Algebra C_c(X) aller stetigen Funktionen $X\rightarrow \C$ mit kompaktem Träger eine lokale Banachalgebra. Ist X nicht kompakt, so ist C_c(X) keine Banachalgebra.

Einzelnachweise

1. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862, Kapitel I. Definition 10
2. ↑ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Kapitel II, 3.1