Haarsches Maß

Das Haarsche Maß wurde von Alfréd Haar in die Mathematik eingeführt, um Ergebnisse der Maßtheorie in der Gruppentheorie anwendbar zu machen.

Es ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Maßes. Das Lebesgue-Maß ist ein Maß auf dem euklidischen Raum, das unter Translationen invariant ist. Der euklidische Raum ist eine lokalkompakte topologische Gruppe bezüglich der Addition. Das Haarsche Maß ist für jede lokalkompakte topologische Gruppe definierbar, insbesondere also für jede Lie-Gruppe. Lokalkompakte Gruppen mit ihren Haarschen Maßen werden in der harmonischen Analyse untersucht.

Definition

Das (linke) Haarsche Maß einer lokalkompakten Gruppe G ist das bis auf einen Faktor eindeutig bestimmte linksinvariante reguläre Borelmaß, das auf nichtleeren offenen Teilmengen positiv ist.

Ein Maß μ heißt dabei linksinvariant, wenn für jede Borelmenge A und jedes Gruppenelement g

μ(gA) = μ(A),

oder in Integralschreibweise

$\int_G f(gx)\,\mathrm d\mu=\int_G f(x)\,\mathrm d\mu$

für stetige Funktionen f und Gruppenelemente g gilt.

Ersetzt man „linksinvariant“ durch den analogen Begriff „rechtsinvariant“, erhält man den Begriff des rechten Haar-Maßes. Stimmen sie überein, so heißt die Gruppe unimodular. Abelsche Gruppen sowie kompakte Gruppen sind unimodular.

Eigenschaften

Das Haarsche Maß einer lokalkompakten topologischen Gruppe ist genau dann endlich, wenn die Gruppe kompakt ist. Diese Tatsache ermöglicht es, eine Mittelung über unendliche kompakte Gruppen durch Integration bezüglich dieses Maßes durchzuführen. Eine Folge ist beispielsweise, dass jede endlichdimensionale komplexe Darstellung einer kompakten Gruppe unitär bezüglich eines geeigneten Skalarproduktes ist.

Beispiele

• Das Lebesguemaß auf $\R^n$ und $\C^n$ ist das Haarsche Maß auf den additiven Gruppen.
• Sei T die kompakte Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag 1. Bezeichnet λ das Lebesguemaß auf [0,1] und f die Funktion $[0,1]\rightarrow T, x\mapsto e^{2\pi i x}$, so ist das Haarsche Maß μ gegeben durch $\lambda\circ f^{-1}$, das heißt $\mu(A)\,=\,\lambda(f^{-1}(A))$ für jede Borelmenge $A\subset T$.
• Ist $GL(n,\R)$ die allgemeine lineare Gruppe, so ist das Haarsche Maß durch $\mu(A) = \int_A\frac{1}{|\det(u)|}\,\mathrm{d}\lambda(u)$ gegeben, wobei λ das Lebesguemaß auf $\R^{n^2}$ ist.
• Für eine diskrete Gruppe ist das Zählmaß Haarsches Maß.
• Das Haarsche Maß auf der multiplikativen Gruppe $\R^\times$ ist durch die Formel $\mu(A) = \int_A \frac{1}{|x|}\,\mathrm{d}\lambda(x)$ gegeben, wobei λ das Lebesguemaß ist.

Die modulare Funktion

→ Hauptartikel: Modulare Funktion (Gruppentheorie)

Ist μ ein (linksinvariantes) Haarsches Maß, dann ebenfalls die Zuordnung $A \mapsto \mu(Ag)$, wobei g ein festes Gruppenelement ist. Wegen der Eindeutigkeit des Haarschen Maßes existiert eine positive reelle Zahl Δ(g), so dass

μ(Ag) = Δ(g)μ(A).

Δ ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus von der Gruppe in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, der modulare Funktion genannt wird. Δ misst, wie sehr ein (linkes) Haarmaß auch rechtsinvariant ist; und eine Gruppe ist genau dann unimodular, wenn ihre modulare Funktion konstant 1 ist.

Literatur

• Lynn H. Loomis: An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co. (1953)
• Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1