Clausen-Funktion

In der Mathematik ist die Clausen-Funktion durch das folgende Integral definiert:

$\operatorname{Cl}_2(\theta) = - \int_0^\theta \log|2 \sin(t/2)| \, \mathrm{d}t.$

Allgemeine Definition

Allgemeiner definiert man für komplexe s mit $\operatorname{Re}(s) > 1$:

$\operatorname{Cl}_s(\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{n^s}$

Diese Definition kann auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden.

Beziehung zum Polylogarithmus

Die Clausen-Funktion steht in Beziehung zum Polylogarithmus:

$\operatorname{Cl}_s(\theta) = \operatorname{Im} (\operatorname{Li}_s(e^{i \theta}))$.

Kummers Beziehung

Ernst Kummer und Rogers führen folgende für $0\leq \theta \leq 2\pi$ gültige Beziehung an:

$\operatorname{Li}_2(e^{i \theta}) = \zeta(2) - \theta(2\pi-\theta)/4 + i\operatorname{Cl}_2(\theta)$

Beziehung zu den Dirichlet L-Funktionen

Für rationale Werte von θ / π kann die Funktion sin(nθ) als periodischer Orbit eines Elementes einer zyklischen Gruppe aufgefasst werden. Folglich kann $\operatorname{Cl}_s(\theta)$ als einfache Summe aufgefasst werden, welche die Hurwitzsche Zeta-Funktion beinhaltet. Das erlaubt es, Beziehungen zwischen bestimmten Dirichlet L-Funktionen einfach zu berechnen.

Die Clausen-Function als eine Regularisierungs-Methode

Die Clausen-Funktion kann auch als Methode betrachtet werden, um folgenden divergenten Fourier-Reihen eine Bedeutung zu geben:

sin(θ) + 2sin(2θ) + 3sin(3θ) + ....

was mit $\operatorname{Cl}_{-1}(\theta)$ bezeichnet werden kann. Durch Integration erhält man:

$\cos(\theta) + \cos(2\theta) + \cos(3 \theta)+..........= -\int d{\theta} \operatorname{Cl}_{-1}(\theta)$

Dieses Ergebnis kann durch analytische Fortsetzung für alle negativen s verallgemeinert werden.

Reihenentwicklung

Eine Reihenentwicklung für die Clausen-Funktion (für | θ | < 2π) ist

$\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 1-\log|\theta| - \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^n \text{.}$

ζ(s) ist dabei die Riemannsche Zeta-Funktion. Eine schneller konvergierende Reihe ist

$\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 3-\log\left[|\theta| \left(1-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)\right] -\frac{2\pi}{\theta} \log \left( \frac{2\pi+\theta}{2\pi-\theta}\right) +\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^n \text{.}$

Die Konvergenz wird dadurch sichergestellt, dass ζ(n) − 1 für große n schnell gegen 0 konvergiert.

Spezielle Werte

Einige spezielle Werte sind:

$\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=G$,

wobei G die Catalansche Konstante ist.

Allgemeiner:

$\operatorname{Cl}_s\left(\frac{\pi}{2}\right)=\beta(s)$

wobei β(x) die Dirichletsche Beta-Funktion ist.

Literatur

• Leonard Lewin (Ed.): Structural Properties of Polylogarithms. American Mathematical Society, Providence (RI) 1991, ISBN 0-8218-4532-2.
• Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational Strategies for the Riemann Zeta Function. In: J. Comp. App. Math. 121, 2000, S. p.11.