Trigamma-Funktion

Die Trigammafunktion ψ₁(z) in der komplexen Zahlenebene.

In der Mathematik ist die Trigamma-Funktion die zweite Polygammafunktion^[1]; die erste Polygammafunktion ist die Digammafunktion ψ. Die Trigammafunktion ist damit eine spezielle Funktion und wird üblicherweise mit ψ₁ bezeichnet und als zweite Ableitung der Funktion ln (Γ(x)) definiert, wobei Γ die Gammafunktion bezeichnet.

Definition und weitere Darstellungen

Die Definition lautet:

$\psi_1(z)=\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2} \ln\Gamma(z).$

Daraus folgt der Zusammenhang mit der Digammafunktion ψ(z), dass

$\psi_1(z) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dz} \psi(z)$

die Trigammafunktion die Ableitung der Digammafunktion ist.

Aus der Summendarstellung

$\psi_1(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(z + n)^2} = \zeta(2,z)$

folgt, dass die Trigammafunktion (für natürliche z) ein Spezialfall der hurwitzschen ζ-Funktion^[2] ist.

Eine Darstellung als Doppelintegral ist

$\psi_1(z)=\int\limits_0^1 \frac{\mathrm dy}{y} \int\limits_0^y \frac{x^{z-1}\,\mathrm dx}{1 - x}.$

Außerdem gilt

$\psi_1(z)= -\int\limits_0^1 \frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,\mathrm dx.$

Berechnung und Eigenschaften

Die asymptotische Berechnung schließt die Bernoulli-Zahlen B_2k ein:

$\psi_1(z) \sim \frac1z + \frac1{2z^2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}$.

Die Rekursionsformel der Trigammafunktion lautet

$\psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2}$

und die Reflexionsformel

$\psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \pi^2\csc^2(\pi z). \,$

Spezielle Werte

Es folgt eine Auflistung einiger spezieller Werte der Trigammafunktion, wobei G die Catalansche Konstante, ζ(x) die Riemannsche Zetafunktion und Cl₂ die Clausen-Funktion^[3] bezeichnet.

$\begin{align} &\psi_1\left(\tfrac14\right) &={}& \pi^2+8G \\ &\psi_1\left(\tfrac13\right) &={}& \tfrac23\pi^2+3\sqrt3\cdot\rm{Cl}_2(\tfrac23\pi)\\ &\psi_1\left(\tfrac12\right) &={}& \tfrac12\pi^2\\ &\psi_1\left(\tfrac23\right) &={}& \tfrac23\pi^2-3\sqrt3\cdot\rm{Cl}_2(\tfrac23\pi)\\ &\psi_1\left(\tfrac34\right) &={}& \pi^2-8G \\ &\psi_1\,(1) &={}& \zeta(2) = \tfrac16\pi^2\\ &\psi_1\left(\tfrac54\right) &={}& \pi^2+8G-16 \\ &\psi_1\left(\tfrac32\right) &={}& \tfrac12\pi^2-4\\ &\psi_1\,(2) &={}& \tfrac16\pi^2-1 \end{align}$

Referenzen

1. ↑ Eric W. Weisstein: Polygamma Function. In: MathWorld. (englisch)
2. ↑ Eric W. Weisstein: Hurwitz Zeta Function. In: MathWorld. (englisch)
3. ↑ Eric W. Weisstein: Clausen Function. In: MathWorld. (englisch)

• Milton Abramowitz und Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Abschnitt §6.4
• Eric W. Weisstein: Trigamma Function. In: MathWorld. (englisch)