- Trigammafunktion
-
In der Mathematik ist die Trigamma-Funktion die zweite Polygammafunktion[1]; die erste Polygammafunktion ist die Digammafunktion ψ. Die Trigammafunktion ist damit eine spezielle Funktion und wird üblicherweise mit ψ1 bezeichnet und als zweite Ableitung der Funktion ln(Γ(x)) definiert, wobei Γ die Gammafunktion bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis
Definition und weitere Darstellungen
Die Definition lautet:
Daraus folgt der Zusammenhang mit der Digammafunktion ψ(z), dass
die Trigammafunktion die Ableitung der Digammafunktion ist.
Aus der Summendarstellung
folgt, dass die Trigammafunktion (für natürliche z) ein Spezialfall der hurwitzschen ζ-Funktion[2] ist.
Eine Darstellung als Doppelintegral ist
Außerdem gilt
Berechnung und Eigenschaften
Die asymptotische Berechnung schließt die Bernoulli-Zahlen B2k ein:
- .
Die Rekursionsformel der Trigammafunktion lautet
und die Reflexionsformel
Spezielle Werte
Es folgt eine Auflistung einiger spezieller Werte der Trigammafunktion, wobei G die Catalansche Konstante, ζ(x) die Riemannsche Zetafunktion und Cl2 die Clausen-Funktion[3] bezeichnet.
Referenzen
- ↑ Eric W. Weisstein: Polygamma Function auf MathWorld (englisch)
- ↑ Eric W. Weisstein: Hurwitz Zeta Function auf MathWorld (englisch)
- ↑ Eric W. Weisstein: Clausen Function auf MathWorld (englisch)
- Milton Abramowitz und Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Abschnitt §6.4
- Eric W. Weisstein: Trigamma Function auf MathWorld (englisch)
Wikimedia Foundation.