Satz über den Einsetzungshomomorphismus

Der Satz vom Einsetzungshomomorphismus ist ein wichtiger Satz aus der Ringtheorie, der es erlaubt, in die Polynome im Sinne der abstrakten Algebra anstelle von X andere Objekte (Elemente einer Ringerweiterung) einzusetzen.

Formulierung des Satzes

Die Aussage des Satzes lautet

Sei R ein kommutativer, unitärer (d.h. mit Einselement 1) Ring, R[X] der Polynomring über R. Dann ist für jedes Element $r\in R$ die Abbildung

$F_r: R[X] \rightarrow R$

$\sum_{i\in\mathbb N_0}{a_i X^i}\mapsto \sum_{i\in\mathbb N_0}{a_i r^i}$

ein Homomorphismus von Ringen. Man bezeichnet ihn als Einsetzungshomomorphismus.

Die Homomorphieeigenschaften von F_r prüft man leicht nach. Der Ring R muss deswegen unitär sein, weil dann X: = (0,1,0,0,...) ein Element von R[X] ist und sich dadurch jedes Polynom $f\in R[X]$ eindeutig in Form $f=\sum_{i\in\mathbb N_0}{a_i X^i}$ mit a_i = 0 für fast alle $i\in\mathbb N_0$ darstellen lässt.

Verallgemeinerung

Bei der Konstruktion des Polynomrings R[X] wird nirgendwo benutzt, dass der Ring R kommutativ ist. Man kann also einen Polynomring R[X] ebenso für einen nichtkommutativen Ring R bilden. Die einzige Unannehmlichkeit besteht darin, dass man dann beim Multiplizieren der Polynome genau auf die Reihenfolge der Faktoren achten muss. Ebenso braucht man für den Nachweis der Homomorphieeigenschaften von F_r lediglich die Tatsache, dass sich das Element r mit jedem Element des Ringes R vertauschen lässt (d.h., $l\cdot r = r\cdot l$ für alle $l\in R$).Dabei muss r nicht mal in R liegen, sondern kann einer Ringerweiterung von R, also einem Oberring entstammen. Der Satz lässt daher folgende Verallgemeinerung zu:

Sei R ein Ring mit Einselement, R[X] der Polynomring über R, S ein beliebiger Oberring von R, $r\in S$. Wenn sich r mit jedem Element von R vertauschen lässt, dann ist die Abbildung

$F_r: R[X] \rightarrow S$

$\sum_{i\in\mathbb N_0}{a_i X^i}\mapsto \sum_{i\in\mathbb N_0}{a_i r^i}$

ein Ringhomomorphismus.

Bedeutung

Im Sinne der abstrakten Algebra sind die Polynome keine Funktionen, wie in der Analysis, sondern (unendliche) Folgen von Ringelementen und X keine Unbekannte, sondern die konkrete Folge X = (0,1,0,0,...). Der Satz vom Einsetzungshomomorphismus zeigt jedoch, wie man auch in Algebra anstelle von X verschiedene Objekte einsetzen kann. Dabei dient das Polynom $f\in R[X]$ als "Muster" zur Bildung von f(r).

Dies soll am folgenden Beispiel veranschaulicht werden.

Sei f das Polynom x² + x − 6 über dem Körper der reellen Zahlen und M sei eine (2x2) Matrix mit reellen Einträgen $\textstyle M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. Damit ist M ein Element des Matrizenringes $\mathbb R^{2\times 2}$, der als eine Ringerweiterung des Körpers der reellen Zahlen aufgefasst werden kann (denn die reellen Zahlen sind isomorph zu dem Ring der Matrizen der Form $\textstyle \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ mit $a\in\mathbb R$, der ein Unterring des Matrizenringes $\mathbb R^{2\times 2}$ ist). Somit können wir f(M) berechnen:

$f(M)= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Historischer Ausblick

Die ganze moderne Algebra ist hervorgegangen aus dem Studium algebraischer Gleichungen, zum Beispiel des Typs $\textstyle a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 =\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} = 0$, wobei x für die unbekannte Größe steht und die Koeffizienten a₁,...,a_n aus einem Körper K oder ganz allgemein aus einem Ring R stammen. Eine solche Gleichung heißt polynomial. Will man sie lösen, betrachtet man meist die zugehörige polynomiale Funktion f(x) = a_nxⁿ + a_{n − 1}x^{n − 1} + ... + a₁x + a₀, welche einem Element x den Funktionswert f(x) zuordnet, und bemüht sich darum, deren Nullstellen zu bestimmen. Streng genommen muss man dabei auch den Definitionsbereich festlegen, in dem x variieren darf. Dies kann K selbst sein, oder für K = Q auch reelle oder komplexe Zahlen (allgemeiner eine Körper- bzw. Ringerweiterung des Koeffizientenbereichs).

Ein Problem ist dabei das Auffinden eines geeigneten Definitionsbereiches für x, der möglichst "alle" Nullstellen erhält. Ein anderes Problem ergibt sich, wenn man als K etwa einen endlichen Körper mit Elementen a₁,...,a_n betrachten möchte. Dann ist beispielsweise $\textstyle g(x)=\prod_{j=1}^{n}(x-a_i)$ eine polynomiale Funktion, die auf ganz K verschwindet, obwohl ihre Koeffizienten nicht alle Null sind. Hieraus folgt, dass man je nach betrachtetem Definitionsbereich der polynomialen Funktion f(x), die der algebraischen Gleichung zugeordnet ist, nicht unbedingt auf die Koeffizienten dieser Gleichung schließen kann.

Um solche Probleme zu vermeiden, betrachtet man Polynome nicht nur als polynomiale Funktionen mit einem bestimmten Definitionsbereich, sondern versucht die zwei Gesichtspunkte gleichzeitig zu realisieren. Zum einen, charakterisiert man die Polynome in umkehrbar eindeutige Weise durch ihre Koeffizienten, siehe dazu den Artikel über den Polynomring. Zum anderen soll auch der Funktionscharakter der Polynome erhalten bleiben, und zwar in der Weise, dass man in Polynome anstelle von X Elemente aus den Körpern oder Ringen, die den Koeffizentenbereich erweitern, einsetzen kann. Dies wird erreicht durch den Einsetzungshomomorphismus, wobei nach dem Muster des abstrakten Polynoms eine reale Polynomfunktion entsteht.

Literatur

• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. Mit liebevollen Erklärungen, einleuchtenden Beispielen und lohnenden Übungsaufgaben, nicht ohne lustige Sprüche, launigen Ton und leichte Ironie, dargestellt zu Nutzen der Studierenden der ersten Semester. 6. durchgesehene und ergänzte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-56508-X (Mathematik für Studienanfänger).
• Siegfried Bosch: Algebra, 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
• Rolf Busam, Thomas Epp: Prüfungstrainer der Linearen Algebra. Spektrum, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-1976-7.