- Ringhomomorphismus
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In der Ringtheorie betrachtet man spezielle Abbildungen zwischen Ringen, die man Ringhomomorphismen nennt. Ein Ringhomomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Gruppen, und damit ein spezieller Homomorphismus.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Gegeben seien zwei Ringe
und
. Eine Funktion
heißt Ringhomomorphismus, wenn für alle Elemente a,b von R gilt:
- φ(a + b) = φ(a) + 'φ(b) und
[1]
Die Gleichung besagt, dass der Homomorphismus strukturerhaltend ist: Es ist egal, ob man erst zwei Elemente verknüpft, und das Ergebnis abbildet, oder erst die zwei Elemente abbildet, und dann die Bilder verknüpft.
Erklärung
Anders ausgedrückt, ist ein Ringhomomorphismus eine Abbildung zwischen zwei Ringen, die sowohl Gruppenhomomorphismus bezüglich der additiven Gruppen der beiden Ringe, als auch Halbgruppenhomomorphismus bezüglich der multiplikativen Halbgruppen der beiden Ringe ist.
Für einen „Homomorphismus von Ringen mit Eins“ muss zusätzlich φ(1R) = 1S gefordert werden. Beispielsweise ist die Nullabbildung von
nach
zwar ein Ringhomomorphismus, aber kein Homomorphismus von Ringen mit Eins, da die besondere Struktur der Eins durch die Abbildung verloren geht: Die Eins wird (wie alle anderen Elemente) zur Null.
Für den Ringhomomorphismus sind die beiden Mengen
und
definiert; aus dem Englischen und Lateinischen schreibt man auch statt Kern ker und statt Bild img, im oder schlicht I (großes i).
und
sind Unterringe von R bzw. S,
sogar ein Ideal,
ist nur dann ein Ideal, wenn
surjektiv (also ein Ringepimorphismus) ist. Ein Ringhomomorphismus ist genau dann injektiv (also ein Ringmonomorphismus), wenn
gilt.
Beispiele
Folgende Abbildungen sind Ringhomomorphismen:
- Die Nullabbildung
- Die Inklusionsabbildung
für festes
- Die komplexe Konjugation
- Die Konjugation
für eine feste Einheit
bzw.
Es handelt sich hier um die Restklassen modulo n, deren Verknüpfungen mit jenen ausverträglich sind.
Einzelnachweise
- ↑ Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik), S. 145
Literatur
- Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
- φ(a + b) = φ(a) + 'φ(b) und
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