Cauchyscher Mittelwertsatz

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung (auch Cauchyscher Mittelwertsatz genannt) ist ein wichtiger Satz der Analysis. Er erlaubt es, Integrale abzuschätzen, ohne den tatsächlichen Wert auszurechnen und liefert einen einfachen Beweis des Fundamentalsatzes der Analysis. Hier wird das Riemann-Integral betrachtet. Die Aussage lautet dann:

Seien $f,g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetige Funktionen und weiterhin $g \ge 0$. Dann existiert ein $\xi \in [a,b]$, so dass

$\int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} = f(\xi)\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}$

gilt. Manche Autoren bezeichnen die obige Aussage als erweiterten Mittelwertsatz und die Aussage für g = 1 als Mittelwertsatz oder ersten Mittelwertsatz.

Beweis

Seien k und K das Infimum bzw. das Supremum von f auf [a,b], so folgt aus $k \le f(x) \le K$ und der Monotonie und Linearität des Riemann-Integrals:

$k\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \leq \int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} \leq K\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}.$

Es gibt also ein $\eta \in [k,K]$ mit

$\int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} = \eta\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}$

und aus dem Zwischenwertsatz folgt, dass es ein $\xi \in [a,b] \ \mathrm{mit} \ f(\xi) = \eta$ gibt. Man kann sogar zeigen, dass ξ nie die Grenzen a,b annehmen muss.

Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung

Seien $f,g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ Funktionen, f monoton und g stetig. Dann existiert ein $\xi \in [a,b]$, so dass

$\int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} = f(a)\int\limits_{a}^{\xi}{g(x)dx}+f(b)\int\limits_{\xi}^{b}{g(x)dx}.$

Im Fall, dass f sogar stetig differenzierbar ist, kann man $\xi \in (a,b)$ wählen.

Beweis

Der Beweis erfordert partielle Integration, den Fundamentalsatz der Analysis und den obigen Satz.

Literatur

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg, Braunschweig ⁷2004. ISBN 3-528-67224-2
• Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6