Jacobifeld

Ein Jacobifeld bzw. genauer Jacobivektorfeld ist ein Vektorfeld längs einer Geodäten, das Lösung der Jacobigleichung ist. Anschaulich betrachtet stellt es das Verschiebungsvektorfeld zwischen infinitesimal benachbarten Geodäten auf einer Riemannschen oder pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit dar. Verwendung findet dieses Konzept in der Differentialgeometrie und in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Jacobigleichung

Die Jacobigleichung ist eine Differentialgleichung für ein Vektorfeld entlang einer Geodäte und setzt die Krümmung der Mannigfaltigkeit in Beziehung zur zweiten Ableitung des gesuchten Jacobifeldes.

Ist $c: (a,b)\rightarrow M$ eine Geodäte mit Tangentialvektorfeld c' und ist $J:(a,b)\rightarrow TM$ ein glattes Vektorfeld längs c, dann ist J ein Jacobifeld, wenn es die Jacobigleichung

$\nabla_{c'}(\nabla_{c'}J) + R(J,c')c' = 0$

erfüllt. Dabei bezeichnet $R(\cdot,\cdot)\cdot$ den Krümmungstensor und $\nabla_{c'}$ die durch den Levi-Civita-Zusammenhang $\nabla$ induzierte kovariante Ableitung.

Im Allgemeinen kann das Jacobifeld Komponenten in TM tangential und orthogonal zum Tangentialvektorfeld der Geodäte haben. Es gilt entlang der Geodäte c(t) für ein Jacobifeld J: das Vektorfeld Y = J + ac' + btc' ist für reelle Parameter a,b ebenfalls ein Jacobifeld entlang c. Für die Untersuchung konjugierter Punkte und die Morseindextheorie beschränkt man sich daher meist auf die Betrachtung der orthogonalen Komponente, indem man Äquivalenzklassen modulo tangentialer Anteile betrachtet.

Beispiel: Jacobifeld auf der 2-Sphäre

Darstellung einer Kugel.
Alle durchgezogenen Linien dieses Bildes sind Großkreise. Die gestrichelten Linien sind die Breitenkreise. Die gelben Linien sind die Längenkreise

Als illustratives Beispiel kann die Kugeloberfläche dienen. In der kanonischen Metrik auf der Sphäre, die man durch die Einbettung in $\mathbb{R}^3$ gewinnt, sind die Geodäten die Großkreise. Alle Großkreise, die durch einen Punkt verlaufen, schneiden sich erneut am Antipodenpunkt dieses Punktes. Diese Großkreise zusammen mit den zwei Punkten beschreiben also die Längenkreise und die Pole eines Kugelkoordinatensystems. Das Jacobifeld entlang dieser Längenkreise ist an jedem Punkt tangential zur Sphäre und senkrecht zu den Längenkreisen. Die Integralkurven des Jacobifeldes sind also die Breitenkreise. Die Striche der Breitenkreise im nebenstehenden Bild kann man als Vektoren des Jacobifelds an dieser Stelle auffassen. Hier wird deutlich, dass das Jacobifeld den Abstand zwischen benachbarten Geodäten beschreibt und in den Polen verschwindet. Die beiden Pole sind also zueinander konjugierte Punkte.

Lorentzsche Indexform und konjugierte Punkte

Die Lorentzsche Indextheorie betrachtet wie die Riemannsche Indextheorie Geodäten auf einem Spezialfall pseudoriemannscher Mannigfaltigkeiten und untersucht diese Geodäten auf das Vorkommen konjugierter Punkte. Zwei Punkte p = c(a), q = c(b) entlang einer Geodäte c nennt man konjugiert zueinander, wenn ein nichttriviales glattes Jacobifeld entlang c existiert, das in p und q verschwindet.

Sei $V^\perp(c)$ der Raum der abschnittsweise glatten orthogonalen Vektorfelder entlang einer Geodäte $c\colon [a,b]\rightarrow M$, das heißt, für $Y\in V^\perp(c)$ sei $Y(t)\in T_{c(t)}M$ und $\langle Y(t),c'(t)\rangle = 0$ für alle $a \leq t \leq b$. Die bilineare symmetrische Indexform

$I\colon \;V^\perp(c)\times V^\perp(c)\rightarrow \mathbb{R}$

wird definiert durch

$I(X,Y) = - \int_a^b \langle X',Y'\rangle-\langle R(X,c')c',Y\rangle \,\mathrm{d}t$ für $X,Y \in V^\perp(c).$

In der Riemannschen Indextheorie wird das Vorzeichen der Indexform positiv gewählt. Wenn X glatt ist, kann eine partielle Integration durchgeführt werden und es gilt:

$I(X,Y) = - \langle X',Y\rangle |_a^b + \int_a^b\langle X''+ R(X,c')c',Y\rangle \,\mathrm{d}t$

Für $Y \in V^\perp(c)$ mit Y(a) = Y(b) = 0, das heißt, $Y \in V^\perp_0(c)$ vereinfacht sich dies weiter zu:

$I(X,Y) = \int_a^b\langle X''+ R(X,c')c',Y\rangle \,\mathrm{d}t$

Die Indexform hängt eng zusammen mit konjugierten Punkten: Für $Y \in V^\perp_0(c)$ ist äquivalent, ob Y ein Jacobifeld ist oder ob I(Y,Z) = 0 für alle $Z \in V^\perp_0(c)$ gilt. Also sind die Endpunkte entlang der Geodäten c genau dann konjugiert, wenn die Bilinearform I entartet ist.

Variation von Geodäten

Eine Variation einer Geodäte $c:[a,b]\rightarrow M$ ist eine glatte Abbildung

$\alpha:[a,b]\times (-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow M$

für ein $\varepsilon > 0$ mit α(t,0) = c(t). Üblicherweise fordert man noch feste Endpunkte: α(a,s) = c(a) und α(b,s) = c(b) für alle $s\in(-\varepsilon,\varepsilon)$. Die kanonische Variation mit festen Endpunkten ist nun gerade die Exponentialabbildung von mit s skalierten Vektorfeldern

$Y \in V^\perp_0(c)$: $\alpha(t,s) = \operatorname{exp}_{c(t)}(s Y(t))$.

Das Variationsvektorfeld V der Variation α ist das Vektorfeld V(t) entlang c(t) mit V(t) = d / ds(α(t,s)) | _{s = 0}. Für die kanonische Variation ist das Variationsvektorfeld also Y(t).

Die 2. Variation der lorentzschen Länge

$L''(0)= (d^2/ds^2 L(s))|_{s=0} \,$ (mit $L(s) = L(t\rightarrow\alpha(t,s))$),

der geodätischen Variation ist nun durch die oben beschriebene Indexform gegeben: L''(0) = I(Y,Y). Daraus ergibt sich, dass die Variation α bei I(Y,Y)>0 benachbarte zeitartige Kurven ergibt, die ebenfalls c(a) mit c(b) verbinden, aber eine größere Länge

$L(\alpha)> L(c) \,$

aufweisen. Damit die zeitartige Geodäte maximal wird, also ihre Länge dem lorentzschen Abstand ihrer Endpunkte entspricht, muss I negativ semidefinit auf c sein.

Literatur

• Beem, J.K., Ehrlich, P.E., Easley, K.L.: Global Lorentzian Geometry, Pure and Applied Mathematics 202, 2nd Edition. New York: Marcel Dekker, Inc. 1996