- Unbedingte Konvergenz
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Die unbedingte Konvergenz ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, der ein bestimmten Konvergenzverhalten von Reihen beschreibt. Man spricht von unbedingter Konvergenz einer Reihe, wenn die Konvergenz unempfindlich gegenüber Umordnungen der Reihe ist. Im endlichdimensionalen ist dies äquivalent zur absoluten Konvergenz, im unendlichdimensionalen ist das nicht mehr der Fall.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei X ein Banachraum und I eine abzählbare Indexmenge. Seien für alle . Man sagt, eine Reihe konvergiert unbedingt gegen , falls für jede Aufzählung von I die Gleichung
gilt. Dieser Begriff wird meistens in Banachräumen untersucht, kann aber auch in normierten, lokalkonvexen oder nur topologischen Vektorräumen formuliert werden.
Zusammenhang zur absoluten Konvergenz
Satz von Riemann
Sei der zugrundeliegende Banachraum und I eine abzählbare Indexmenge. Dann besagt ein Satz von Riemann, dass die Reihe genau dann unbedingt konvergiert, wenn sie absolut konvergiert.
Satz von Dvoretzky-Rogers
Im unendlichdimensionalen Raum sind die unbedingte Konvergenz und die absolute Konvergenz nicht mehr äquivalent. Dies besagt der Satz von Dvoretzky-Rogers, der nach Aryeh Dvoretzky und Claude Ambrose Rogers benannt wurde. Präzise besagt er, dass in jedem unendlichdimensionalen Banachraum eine unbedingt konvergente Reihe existiert, die nicht absolut konvergiert. Die Umkehrung, nach der jede absolut konvergente Reihe unbedingt konvergiert, gilt auch im unendlichdimensionalen Fall.
Siehe auch
Quellen
- Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seite 232ff.
- B. I. Golubov: Unconditional convergence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.
Weblinks
- Plantmath: Unconditional convergence Abgerufen am 1. Juni 2011
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