Satz über rationale Nullstellen

Der Satz über rationale Nullstellen (auch rationaler Nullstellentest oder Lemma von Gauß) ist eine Aussage über die rationalen Nullstellen ganzzahliger Polynome. Sie beinhaltet ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer rationalen Nullstelle und liefert dabei eine endliche Menge rationaler Zahlen, in der alle rationalen Nullstellen enthalten sein müssen.

Aussage

Für jede rationale Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms gilt, dass ihr Zähler das Absolutglied und ihr Nenner den Leitkoeffizienten des Polynoms teilen müssen.

Sei also $f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_0$ ein Polynom vom Grad n mit einer rationalen Nullstelle $x_0=\frac{p}{q}$ (wobei $p,\,q \in \mathbb{Z}$ teilerfremd sind), dann ist a₀ durch p teilbar und a_n durch q teilbar.

Anmerkungen

Wenn der Leitkoeffizient des Polynoms den Betrag 1 besitzt, dann ist jede rationale Nullstelle eine ganze Zahl, die das Absolutglied teilt.

Das Theorem lässt sich auch verwenden, um die rationalen Nullstellen rationaler Polynome zu berechnen. Denn wenn man ein rationales Polynom mit einem gemeinsamen Vielfachen der Nenner seiner Koeffizienten multipliziert, so erhält man ein ganzzahliges Polynom mit identischen Nullstellen, zu deren Bestimmung man nun den rationalen Nullstellentest anwenden kann.

Der Satz über rationale Nullstellen ergibt sich auch als Korollar zu einer auf Gauß zurückgehenden allgemeineren Aussage über Polynome über dem Quotientenkörper eines faktoriellen Ringes (siehe Lemma von Gauß).

Beispiele

Das Polynom p(x) = x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 besitzt keine rationale Nullstelle, da 1 und -1 die einzigen Teiler des Absolutglieds sind und $p(-1)=1\neq 0$ und $p(1)=7\neq 0$ ist.

Aus dem rationalen Polynom $p(x)=\tfrac{1}{5}x^3-\tfrac{7}{30}x^2+\tfrac{1}{30}$ erhält man durch Multiplikation mit 30 das ganzzahlige Polynom $p^{\star}(x)=6x^3-7x^2+1$. Dessen rationale Nullstellen müssen dann in der Menge $\{ \pm 1,\pm\tfrac{1}{2},\pm\tfrac{1}{3},\pm\tfrac{1}{6} \}$ enthalten sein. Überprüft man nun alle diese Kandidaten durch Einsetzen in p(x) oder $p^{\star}(x)$, so erhält man als Nullstellen $-\tfrac{1}{3}$, 1 und $\tfrac{1}{2}$. Da p(x) als Polynom vom Grad 3 maximal 3 paarweise verschiedene Nullstellen besitzen kann, existieren in diesem Fall auch keine weiteren irrationalen Nullstellen.

Literatur

• Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer, 6. Auflage 2006, ISBN 3540418504, S. 64 (Auszug in der Google Buchsuche)
• Rolf Walter: Einführung in die Analysis 1. Walter de Gruyter 2007, ISBN 9783110195392, S. 110-111, 362 (Auszug in der Google Buchsuche)
• Karl-Heinz Zimmermann: Diskrete Mathematik. Books on Demand 2006, ISBN 3833455292, S. 171 (Auszug in der Google Buchsuche)
• Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3. überarbeitete Auflage 1990, ISBN 0-673-38638-4, S. 216-221
• Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications 1998, ISBN 0486255638, S. 116-117 (Auszug in der Google Buchsuche)

Weblinks

• Winfried Kaballo: Analysis I. Vorlesungsskript, Wintersemester 2006/2007, S. 44, Kapitel Polynome und Nullstellen, Satz 9.11 (Online-kopie des Kapitel 9 (pdf))
• The Rational Roots Test auf purplemath.com
• Eric W. Weisstein: Rational Zero Theorem. In: MathWorld. (englisch)
• RationalRootTheorem bei PlanetMath