Restklasse

Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie ist die Restklasse einer Zahl a modulo einer Zahl m die Menge aller Zahlen, die bei Division durch m denselben Rest lassen wie a.

Definition

Es sei m eine von 0 verschiedene ganze Zahl und a eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von a modulo m, geschrieben

$a + m \mathbb{Z},$

ist die Äquivalenzklasse von a bezüglich der Kongruenz modulo m, also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch m den gleichen Rest wie a ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen b, die sich aus a durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von m ergeben:

$a + m \mathbb{Z} = \{ b\mid b=a+km\ \, \mathrm{f\ddot ur\ ein}\ \, k\in\mathbb Z\} = \{ b \mid b \equiv a \; (\bmod \; m) \}$.

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten $0,1,2,\dots,m-1$.

Die Menge aller Restklassen modulo m schreibt man häufig als $\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ oder $\mathbb{Z}_m$. Sie hat m Elemente und die Struktur eines Ringes und wird deshalb Restklassenring genannt. Genau dann, wenn m eine Primzahl ist, ergibt sich sogar die Struktur eines endlichen Körpers.

Eine Restklasse modulo m heißt prime Restklasse, wenn ihre Elemente teilerfremd zu m sind. (Wenn dies für ein Element gilt, dann auch für alle anderen.) Die Menge der primen Restklassen ist die Gruppe der Einheiten $(\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times$ (oder $\mathbb{Z}_m^*$) im Restklassenring $\mathbb Z/m\mathbb Z$; sie wird prime Restklassengruppe genannt und umfasst die multiplikativ invertierbaren Restklassen.

Beispiele

• Die Restklasse von 0 modulo 2 ist die Menge der geraden Zahlen.
• Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.
• Die Restklasse von 0 modulo m ist die Menge der Vielfachen von m.
• Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge $\{\ldots-8,-5,-2,1,4,7,10,\ldots\}.$

Verallgemeinerung

Ist A ein Ring und $I\subseteq A$ ein Ideal, so heißen Mengen der Form

$a+I=\{a+i\mid i\in I\}$

Restklassen modulo I. Ist A kommutativ, oder ist I ein zweiseitiges Ideal, so hat die Menge A / I der Restklassen modulo I eine natürliche Ringstruktur und heißt Restklassenring, Quotientenring oder Faktorring modulo I. A / I wird durch Elemente in A repräsentiert, wobei die Restklassen a + I und b + I in A / I übereinstimmen, falls $a-b \in I$ gilt.