D'Alembert-Differentialgleichung

Die d’Alembertsche Differentialgleichung, auch lagrangesche Differentialgleichung genannt, ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

$\ y(x) = x g(y'(x)) + f(y'(x)).$

Sie ist nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert benannt. Ein Sonderfall dieser Differentialgleichung ist die clairautschen Differentialgleichung.

Formulierung

Sei $u: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ eine Lösung der Gleichung

$\ [x-g(x)]u'(x) - g'(x)u(x) = f'(x)$

und u auf (a,b) injektiv mit differenzierbarer Umkehrfunktion u ^{− 1}. Dann ist

$y(x) := x\cdot g(u^{-1}(x)) + f(u^{-1}(x))$

eine Lösung der d’Alembertschen Differentialgleichung.

Beweis

Es gilt:

$\begin{array}{lll} y'(x)&=&g(u^{-1}(x))+\frac{xg'(u^{-1}(x)) + f'(u^{-1}(x))}{u'(u^{-1}(x))}\\ &=&g(u^{-1}(x))+\frac{xg'(u^{-1}(x)) + [u^{-1}(x)-g(u^{-1}(x))]u'(u^{-1}(x)) - xg'(u^{-1}(x))}{u'(u^{-1}(x))}\\ &=&u^{-1}(x)\ .\end{array}$

$\Box$

Man beachte allerdings, dass man auf diese Weise im Allgemeinen nicht alle Lösungen findet, wie man schon im Spezialfall der clairautschen Differentialgleichung sieht. Dort würde man mit diesem Verfahren nur die dort als nichttriviale Lösungen bezeichneten Lösungen finden.