Dandelinsche kugeln

Eine Dandelinsche Kugel (nach Germinal Pierre Dandelin) ist ein geometrisches Hilfsmittel zum Nachweis, dass der ebene Schnitt eines Drehkegels ein regulärer Kegelschnitt ist, sofern die Schnittebene nicht durch die Spitze geht.

Wird ein Drehkegel von einer Ebene geschnitten, so ergibt sich als Schnittfigur ein Kegelschnitt. Man kann dann, je nach Lage der Ebene, eine oder zwei Kugeln finden, die sowohl die Schnittebene als auch den Kegel (von innen) berühren.

Dies wird in der nachstehenden Abbildung an einem Beispiel gezeigt. K und K' sind die beiden Berührkreise zwischen den beiden Kugeln und dem Kegel, F und F' sind die Berührpunkte zwischen den Kugeln und der Schnittebene E.

Damit lässt sich folgende geometrische Überlegung anstellen: Es sei P ein beliebiger Punkt auf dem Kegelschnitt. m sei die Mantellinie, die vom Kegelscheitel S durch P gezogen wird. m trifft die beiden Berührkreise in den Punkten A und B. Sowohl $\overline{PF'}$ als auch $\overline{PB}$ sind Strecken, die auf Tangenten an die untere Kugel liegen. Da die Tangentenabschnitte von einem Punkt an eine Kugel alle gleich lang sind, ist $\overline{PF'}=\overline{PB}$. Ebenso folgt, dass $\overline{PF}=\overline{PA}$ sein muss. Damit ist $\overline{PF}+\overline{PF'}=\overline{PA}+\overline{PB}$. Da nun $\overline{PA}+\overline{PB}$ der (auf einer Mantellinie gemessene) Abstand der beiden Berührkreise K und K' ist, ist diese Summe für jeden beliebigen Punkt P des Kegelschnitts gleich groß. Daher folgt: $\overline{PF}+\overline{PF'}$ ist konstant (nämlich der Abstand der Kreise).

Die Menge aller Punkte, die von zwei festen Punkten F und F' die gleiche Abstandssumme besitzen, ist aber gerade die Ellipse mit den Brennpunkten F und F'.

Damit ist bewiesen: Der Kegelschnitt ist eine Ellipse, und die dandelinschen Kugeln berühren die Schnittebene in den Brennpunkten dieser Ellipse.

Eine entsprechende Überlegung lässt sich auch für die anderen Typen von Kegelschnitten (Parabel, Hyperbel) anstellen.