Dirichlet'sche Eta-Funktion

Dirichlet'sche Eta-Funktion
Die dirichletsche η-Funktion in der komplexen Zahlenebene.

In der Zahlentheorie ist die dirichletsche η-Funktion eine spezielle Funktion, die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805−1859) benannt ist. Sie ist verwandt mit der riemannschen ζ-Funktion.

Sie wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben eta (η) notiert; die dedekindsche η-Funktion, eine Modulform, wird aber ebenfalls so bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Definition und weitere Darstellungen

Die dirichletsche η-Funktion wird üblicherweise definiert als

\begin{align}\eta(s) &=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^s} \\ &=(1-2^{1-s})\cdot\zeta(s)\end{align}

Eine Integraldarstellung enthält die Gammafunktion Γ(s) und lautet

\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int\limits_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1}{\mathrm dx}.

Ihre Funktionalgleichung ist

\eta(-s) = 2\pi^{-s-1} s \sin\left(\frac{\pi s}2\right) \Gamma(s)\eta(s+1).

Eine Reihendarstellung ist gegeben durch

\eta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}} 
\sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n \choose k} \frac {1}{(k+1)^s}.

Werte

Es gilt

\eta(0) = \tfrac12
\eta(-1)=\tfrac14

Für natürliche k gilt mit den Bernoulli-Zahlen Bk

\eta(1-k) = \frac{2^k-1}{k} B_k.

Die Werte für gerade Argumente

\ \eta(1) = \ln2 (die alternierende harmonische Reihe)
\eta(2) = {\pi^2 \over 12}
\eta(4) = {{7\pi^4} \over 720}
\eta(6) = {{31\pi^6} \over 30240}
\eta(8) = {{127\pi^8} \over 1209600}
\eta(10) = {{73\pi^{10}} \over 6842880}
\eta(12) = {{1414477\pi^{12}} \over {1307674368000}}

ergeben sich aus der allgemeinen Formel

\eta(2n) = (-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi^{2n}(2^{2n-1} - 1)} \over {(2n)!}}.

Die ersten Werte für ungerade Argumente sind

\eta(3)=\frac34\zeta(3)
\eta(5)=\frac{15}{16}\zeta(5)

Weiteres

Die Verwandschaften von η zu der dirichletschen λ-Funktion[1] und der riemannschen ζ-Funktion werden durch folgende Formel zum Ausdruck gebracht[2]:

\frac{\zeta(v)}{2^v}=\frac{\lambda(v)}{2^v-1}=\frac{\eta(v)}{2^v-2}

bzw.

\ \zeta(v)+\eta(v)=2\lambda(v).

Die dirichletsche eta-Funktion ist ein Spezialfall des Polylogarithmus, denn es gilt:

\ \eta(x)=-\mathrm{Li}_x(-1).

Die Ableitung ist gegeben durch

\eta^\prime(x)=2^{1-x}(\ln2)\zeta(x)+(1-2^{1-x})\zeta^\prime(x).

Außerdem gilt

\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{[-\ln(x,y)]^s}{1+xy}\;\mathrm dx\,\mathrm dy=\Gamma(s+2)\eta(s+2).

Literatur

Einzelnachweise

  1. Eric W. Weisstein: Dirichlet Lambda Function auf MathWorld (englisch)
  2. J. Spanier, K.B.Oldham: The Zeta Numbers and Related Functions. In: An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, S. 25-33, 1987.

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