Dirichlet-Kern

Dirichlet-Kern

Der Dirichlet-Kern ist eine von Peter Gustav Lejeune Dirichlet untersuchte Funktionenfolge. Diese wird in der Analysis im Teilgebiet der Fourier-Analysis verwendet. Dirichlet fand im Jahr 1829 den ersten strengen Beweis für die Konvergenz der Fourier-Reihe von einer periodischen, stückweise stetigen und stückweise monotonen Funktion. Die Konvergenz von Fourier-Reihen wurde schon seit Leonhard Euler diskutiert. Diese von Dirichlet gefundene Funktionenfolge ist wichtiger Bestandteil dieses Beweises und wird dort als Integralkern verwendet. Deshalb nennt man sie Dirichlet-Kern.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Als Dirichlet-Kern bezeichnet man die Funktionenfolge

D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
e^{ikx}=1+2\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.

Die Bedeutung des Dirichlet-Kerns hängt mit dem Verhältnis zur Fourierreihe zusammen. Die Faltung von Dn(x) mit einer Funktion f der Periode 2π ist der n-te Grad der Fourierreihe seiner Näherung für f. Beispielsweise ist

(D_n*f)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)D_n(x-y)\,dy=\sum_{k=-n}^n \hat{f}(k)e^{ikx},

wobei

\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ikx}\,dx

der k-te Fourierkoeffizient von f ist. Daraus lässt sich schließen, dass es zum Studium der Konvergenz von Fourierreihen ausreicht, die Eigenschaften des Dirichlet-Kerns zu studieren. Aus der Tatsache, dass die L1-Norm von Dn für n\to\infty logarithmisch gegen \infty geht, kann man herleiten, dass es stetige Funktionen gibt, die nicht durch ihre Fourierreihe dargestellt werden.[1] Explizit gilt nämlich:

\int |D_n(t)|\,dt = \frac{4}{\pi^2}\log n + \mathcal{O}(1)

Für die \mathcal{O}-Notation siehe Landau-Symbole.

Beziehung zur Delta-Distribution

Die periodische Delta-Distribution ist das neutrale Element für die Faltung mit -periodischen Funktionen:

f*(2\pi \delta)=f \,

für jede Funktion f mit Periode . Die Fourierreihe wird durch folgende "Funktion" repräsentiert:

2\pi \delta(x)\sim\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}=\left(1 +2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx)\right).

Beweis der trigonometrischen Identität

Die trigonometrische Identität

\sum_{k=-n}^n e^{ikx}
=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}

beweist man wie folgt. Dazu vergegenwärtige man sich die endliche Summe der geometrischen Reihe:

\sum_{k=0}^n a r^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.

Insbesondere gilt

\sum_{k=-n}^n r^k=r^{-n}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r}.

Multipliziert man Zähler und Nenner mit r−1/2, erhält man

\frac{r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r} =\frac{r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}.

Im Fall von r = eix erhält man

\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=\frac{e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}} =\frac{-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}

und kürzt schließlich durch "−2i".

Literatur

  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7.Auflage, Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, S. 117.
  • Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S.620 (vollständige Online-Version (Google Books))

Weblinks

Einzelnachweis

  1. W. Rudin, Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, London 1970. Abschnitt 5.11, S. 101

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Kern — bezeichnet: Kern (Familienname), Namensträger siehe dort; Atomkern; Kern (Archäologie), in der Vor und Frühgeschichte ein Feuersteinstück, von dem andere Stücke abgetrennt werden, um diese weiterzuverwenden; Kern (Jägersprache), in der… …   Deutsch Wikipedia

  • Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet — Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [ləˈʒœn diʀiˈçle] (* 13. Februar 1805 in Düren; † 5. Mai 1859 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Dirichlet lehrte in …   Deutsch Wikipedia

  • Peter Gustav Lejeune Dirichlet — Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ([ləˈʒœn diʀiˈkleː][1] oder [ləˈʒœn diʀiˈʃleː][ …   Deutsch Wikipedia

  • Fejér-Polynome — In der Mathematik ist für eine 2π periodische, stetige Funktion f, das heißt , das n te Fejer Polynom σn(f) definiert durch wobei …   Deutsch Wikipedia

  • Leakage — Spektrale Darstellung des Leck Effektes bei einem Rechteckfenster Der Leck Effekt oder Leakage Effekt ist ein Phänomen der digitalen Signalanalyse. Die Verwendung von endlich langen Zeitfenstern bei der Fouriertransformation von Zeitsignalen… …   Deutsch Wikipedia

  • Leckeffekt — Spektrale Darstellung des Leck Effektes bei einem Rechteckfenster Der Leck Effekt oder Leakage Effekt ist ein Phänomen der digitalen Signalanalyse. Die Verwendung von endlich langen Zeitfenstern bei der Fouriertransformation von Zeitsignalen… …   Deutsch Wikipedia

  • DTFT — Dieser Artikel gibt eine Übersicht über die üblichen Varianten der Fourier Transformation. Häufig wird die kontinuierliche Fourier Transformation kurz als Fourier Transformation bezeichnet; für anschauliche Beispiele siehe Artikel Fourier Analyse …   Deutsch Wikipedia

  • Fourier-Koeffizient — Dieser Artikel gibt eine Übersicht über die üblichen Varianten der Fourier Transformation. Häufig wird die kontinuierliche Fourier Transformation kurz als Fourier Transformation bezeichnet; für anschauliche Beispiele siehe Artikel Fourier Analyse …   Deutsch Wikipedia

  • Fourier-Koeffizienten — Dieser Artikel gibt eine Übersicht über die üblichen Varianten der Fourier Transformation. Häufig wird die kontinuierliche Fourier Transformation kurz als Fourier Transformation bezeichnet; für anschauliche Beispiele siehe Artikel Fourier Analyse …   Deutsch Wikipedia

  • Fourier-Transformierte — Dieser Artikel gibt eine Übersicht über die üblichen Varianten der Fourier Transformation. Häufig wird die kontinuierliche Fourier Transformation kurz als Fourier Transformation bezeichnet; für anschauliche Beispiele siehe Artikel Fourier Analyse …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”