Diskriminante Funktion

Eine Diskriminanzfunktion oder Trennfunktion ist eine Funktion, die bei einem Klassifikationsverfahren die Grenzen zwischen verschiedenen Klassen angibt. Die Null- beziehungsweise Sprungpunkte der Diskriminanzfunktion bilden die Trennflächen zwischen den Klassen. Falls die Trennflächen aus Geraden bestehen, spricht man auch von einer linearen Diskriminanzfunktion, ansonsten von einer nichtlinearen Diskriminanzfunktion. Die Trennflächen sind immer von einer Dimension niedriger als der Merkmalsraum.

Anzahl von Diskriminanzfunktionen eines Klassifikationsverfahrens

Zur Trennung von n Klassen lassen sich maximal n − 1 Diskriminanzfunktionen bilden, die orthogonal (d. h. rechtwinklig bzw. unkorreliert) sind. Die Anzahl der Diskriminanzfunktionen kann auch nicht größer werden, als die Anzahl der Merkmalsvariablen, die zur Trennung der Klassen bzw. Gruppen verwendet werden.^[1]

Beispiel

Ein einfacher Quader-Klassifikator soll anhand des Alters x einer Person bestimmen, ob es sich um einen Teenager handelt oder nicht. Die Diskriminanzfunktion ist

$g(x)= \begin{cases} 1 & \mbox{wenn } 13 \le x \le 19 \\ -1 & \mbox{sonst} \end{cases}$

Da der Merkmalsraum eindimensional ist (nur das Alter wird zur Klassifikation herangezogen), sind die Trennflächen-Punkte bei x = 13 und x = 19. In diesem Fall muss vereinbart werden, dass die Trennflächen mit zur Klasse "Teenager" gehören.

Allgemeine Form der Diskriminanzfunktion

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + ... + b_jX_j Analog zur multiplen Regression.

Y = Diskriminanzvariable; X_j = Merkmalsvariable j; b_j = Diskriminanzkoeffizient für Merkmalsvariable j; b₀ = konstantes Glied.

Siehe auch

• Diskriminanzanalyse
• Fishersche Diskriminanzfunktion

Quellen

1. ↑ Backhaus, K., Erichson, B., Plinke, W., Weiber, R. (2008). Multivariate Analysemethoden. Eine anwendungsorientierte Einführung. Springer: Berlin, S.200. ISBN 978-3-540-85044-1