Diskriminante (algebraische Zahlentheorie)

In der Algebraischen Zahlentheorie bezeichnet die Diskriminante ein Hauptideal in einem Ganzheitsring, welches eine zahlentheoretische Aussage über die Körpererweiterung zweier Zahlkörper macht.

Definition

Sei B ein Ring, $A \subseteq B$ ein Unterring derart, dass B ein freier A-Modul vom Rang $n \; (n \in \mathbb{N})$ ist. Für $(x_1, x_2, \dots, x_n) \in B^n$ heißt $D(x_1, x_2, \dots, x_n) := \det \left( \mathrm{Tr}_{B/A}(x_i \cdot x_j)_{i,j} \right) \in A$ die Diskriminante von $(x_1, x_2, \dots, x_n)$.

Wenn $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ eine A-Basis von B darstellt, so ist die Diskriminate bis auf eine Einheit in A eindeutig bestimmt, insbesondere ist also das von $D(x_1, x_2, \dots, x_n)$ in A erzeugte Hauptideal unabhängig von der Basiswahl. Dieses Hauptideal wird mit $\mathfrak{D}_{B/A}$ bezeichnet und heißt Diskriminante von B über A.

Eigenschaften und Anwendung

• Sei K ein Körper von Charakteristik 0, L eine Körpererweiterung von K vom Grad $n \; (n \in \mathbb{N})$ und $\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n$ die n verschiedenen K-Algebrenmonomorphismen von L in den algebraischen Abschluss. Dann gilt für eine K-Basis $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ von L:

$D(x_1, x_2, \dots, x_n) = \det\left( (\sigma_i(x_j))_{i,j} \right)^2 \neq 0$

• Seien $K \subseteq L$ zwei Zahlkörper, mit den zugehörigen Ganzheitsringen $A \subseteq B$. Dann gilt für ein Primideal $\mathfrak{p} \subseteq A$ das folgende: $\mathfrak{p} \subseteq B$ ist genau dann verzweigt, wenn $\mathfrak{p} \supseteq \mathfrak{D}_{B/A}$ gilt. Insbesondere folgt daraus, dass es nur endlich viele verzweigte Primideale gibt (eindeutige Primzerlegung von $\mathfrak{D}_{B/A}$, vgl. Dedekindring).

Beispiel

Seien $A := \mathbb{Q}, \; B := \mathbb{Q}[X]/(X^2 + bX + c), \quad b,c \in \mathbb{Q}$; x bezeichne die die Äquivalenzklasse von X in B.

Somit $D_{B/A}(1, x) = \det \begin{pmatrix} \mathrm{Tr}_{B/A}(1) & \mathrm{Tr}_{B/A}(x) \\ \mathrm{Tr}_{B/A}(x) & \mathrm{Tr}_{B/A}(x^2) \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 2 & -b \\ -b & b^2-2c \end{pmatrix} = b^2 - 4c$, was der Diskriminante des Polynoms X² + bX + c entspricht.

Zur Berechnung der dabei verwendeten Spuren:

$\mathrm{Tr}_{B/A}(1) = \mathrm{Tr}_{B/A} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2$

$\mathrm{Tr}_{B/A}(x) = \mathrm{Tr}_{B/A} \begin{pmatrix} 0 & -c \\ 1 & -b \end{pmatrix} = -b$

$\mathrm{Tr}_{B/A}(x^2) = \mathrm{Tr}_{B/A}(-b \cdot x - c) = -b \cdot \mathrm{Tr}_{B/A}(x) - c \cdot \mathrm{Tr}_{B/A}(1) = b^2-2c$

Siehe auch

Diskriminante