Dissipativer Operator

In der linearen Theorie sind Dissipative Operatoren lineare Operatoren, die auf reellen oder komplexen Banachräumen definiert sind und gewisse Normabschätzungen erfüllen. Durch den Satz von Lumer-Phillips spielen sie eine wichtige Rolle bei der Betrachtung stark stetiger Halbgruppen.

Definition

Seien X ein Banachraum und $D(A)\subset X$. Ein linearer Operator $A:D(A)\rightarrow X$ mit

$\|(\lambda-A)x\|\geq \lambda\|x\|$

für alle λ > 0 und $x\in X$ wird dissipativ genannt. Diese Bezeichnung geht auf Ralph Phillips zurück.

Ist A ein linearer Operator und − A dissipativ, so wird A akkretiv genannt. Diese Bezeichnung wurde von Tosio Kato und Kurt Friedrichs eingeführt.

Hilbertraum

Wenn X ein Hilbertraum ist, ist ein linearer Operator $A:D(A)\rightarrow X$ genau dann dissipativ, falls

$\operatorname{Re}\,\langle Ax,x\rangle\leq 0$

für alle $x\in D(A)$ gilt, wobei $\operatorname{Re}$ den Realteil bezeichnet.

Folgerungen

Sei (A,D(A)) ein dissipativer Operator auf einem Banachraum X.

• λ − A ist für ein λ > 0 surjektiv genau dann, wenn λ − A für alle λ > 0 surjektiv ist. Alsdann heißt (A,D(A)) m-dissipativ und erzeugt eine stark stetige Operatorhalbgruppe.
• A ist abgeschlossen genau dann, wenn das Bild von λ − A für ein λ > 0 abgeschlossen ist.

Beispiel

Betrachtet man auf einem beschränkten Gebiet $\Omega\subset\R^n$ den Laplace-Operator Δ mit Dirichlet-Randbedingung auf L²(Ω) (siehe L^p-Raum), also $D(\Delta)=H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$, erhält man:

$\langle\Delta u,u\rangle=-\langle \nabla u, \nabla u\rangle=-\|\nabla u\|^2\leq 0$.

Der Satz von Lax-Milgram beweist, dass $\Delta:D(\Delta)\rightarrow L^2(\Omega)$ m-disspativ ist und somit eine stark stetige Operatorhalbgruppe erzeugt.