Duale Basis

Die duale Basis ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Zu einer gegebenen Basis eines Vektorraums wird eine zugehörige Basis des Dualraums konstruiert.

Konstruktion

Es sei $(e_i)_{i\in I}$ eine Hamelbasis eines Vektorraums V über einem Körper K (in Anwendungen oft $\R$ oder $\C$). Dann gibt es zu jedem $i\in I$ genau eine lineare Abbildung $e_i^*:V\rightarrow K$ mit $e_i^*(e_j) = \delta_{i,j}$ für alle $j\in I$, wobei δ_i,j das Kronecker-Delta ist, denn eine lineare Abbildung ist durch die Bilder auf einer Basis eindeutig bestimmt. Die so gewonnenen $e_i^*$ sind Elemente des Dualraums V ^* und linear unabhängig, denn aus einer Gleichung $\sum_{i\in I} \lambda_i e_i^* =0$, wobei die $\lambda_i\in K$ fast alle 0 sind, folgt durch Anwendung der linken Seite auf den Vektor e_i sofort λ_i = 0 für alle $i\in I$.

Ist nun zusätzlich V endlichdimensional, so kann man zeigen, dass die $e_i^*$ sogar den Vektorraum V ^* erzeugen, also eine Basis des Dualraums bilden. Man nennt $(e_i^*)_{i\in I}$ dann die zu $(e_i)_{i\in I}$ duale Basis.

Berechnung

Ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension n über dem Körper K ist stets isomorph zum Raum Kⁿ der Spalten-Vektoren mit Einträgen aus K. Eine Basis $(e_i)_{i=1,\ldots n}$ besteht dann aus Vektoren

$e_i = \begin{pmatrix} a_{1,i} \\ \vdots \\ a_{n,i} \end{pmatrix}$.

Da die (e_i)_i eine Basis bilden, ist die Matrix A = (a_i,j)_i,j invertierbar, sei B = (b_i,j)_i,j = A ^{− 1} die inverse Matrix. Setzt man nun

$e_j^* = (b_{j,1},\ldots,b_{j,n})$,

so bilden diese Zeilen-Vektoren gerade die gesuchte duale Basis, denn aus der Gleichung

$B\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & & 0\\ & \ddots \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}$

liest man unmittelbar ab, dass

$e_j^*(e_i) = \sum_{k=1}^n b_{j,k}a_{k,i} = \delta_{i,j}$.

Fazit: Zu einer als Spalten-Vektoren gegebenen Basis findet man die duale Basis, indem man die aus den Spalten gebildete Matrix invertiert; die duale Basis besteht dann aus den Zeilen dieser invertierten Matrix.

Tensor-Schreibweise

Im Tensor-Formalismus der Relativitätstheorie schreibt man die Basis eines Vektorraumes (wie etwa eines Tangentialraums) mit oberen Indizes, (eⁱ)_i, nennt diese Vektoren kontravariant und versteht diese als Spalten-Vektoren. Die zugehörige kovariante Basis ist dann genau die oben vorgestellte duale Basis in Form von Zeilen-Vektoren. Diese schreibt man dann mit unteren Indizes, (e_i)_i. Die definierende Bedingung lautet dann $e^je_i = \delta_i^j$.

Der Grund für diese Schreibweise ist das unterschiedliche Transformationsverhalten der Vektoren bei Basiswechsel. Ist L die lineare Transformation, die eine Basis (eⁱ)_i auf eine andere (e'ⁱ)_i abbildet, so gilt:

$\delta_i^j = e^je_i = e^jL^{-1}Le_i = e^jL^{-1}e'^i$

und man liest ab, dass sich die duale Basis mittels L ^{− 1} transformiert. Betrachtet man Koordinaten bezüglich der Basen, so findet man ähnliche Verhältnisse. Ist etwa $L=(l_{\ j}^i)$ und ist $L^{-1}=(\tilde{l}_{\ j}^i)$, so gilt bei Beachtung der Einsteinschen Summenkonvention für einen Vektor v = λ_ieⁱ:

$v = \lambda_ie^i = \lambda_i\delta^i_je^j = \lambda_i \tilde{l}_{\ k}^i l_{\ j}^k e^j = \lambda_i \tilde{l}_{\ k}^i e'^k$.

Der Koeffizient von v zum Basisvektor e'^k ist also $\lambda_i \tilde{l}_{\ k}^i$, das heißt die Koeffizienten transformieren sich ebenfalls mittels der inversen Transformationsmatrix. Generell schreibt man alle (kontravarianten) Größen, die sich mittels L transformieren, mit oberen Indizes und alle (kovarianten) Größen, die sich gegenläufig, also mittels L ^{− 1} transformieren, mit unteren Indizes.

Anwendung aus der Kristallographie

Die Bestimmung dualer Basen ist bei der Beschreibung von Kristallgittern wichtig. Dort sind die primitiven Gittervektoren im Allgemeinen schiefwinklig. Das Skalarprodukt zwischen Basisvektoren des reziproken Raums $\vec{e}^{\ *}_{i}$ (das entspricht der dualen Basis bis auf einen konstanten Faktor 2π) und des Ortsraums $\vec{e}_{j}$ ist hier:

$\vec{e}^{\ *}_{i} \cdot \vec{e}_{j} = 2\pi\,\delta_{ij}$

Beispiel: Die primitiven Gittervektoren des kubisch-flächenzentrierten (fcc) Gitters lauten:

$\vec{e}_{1}=\frac{a}{2}\left(\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)$

$\vec{e}_{2}=\frac{a}{2}\left(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{z}\right)$

$\vec{e}_{3}=\frac{a}{2}\left(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}\right)$

Die Matrix A zeilenweise mit den kartesischen Koordinaten der Basisvektoren auffüllen, dann invertieren und schließlich mit 2π multiplizieren:

$A=\frac{a}{2}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$   mit   $A\cdot B=2\pi\,E$   ergibt sich   $B=2\pi\,A^{-1}=\frac{2\pi}{a}\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\end{array}\right)$

Die reziproke Basisvektoren lassen sich als Spalten der Matrix B einfach ablesen:

$\vec{e}^{\ *}_{1}=\frac{2\pi}{a}\left(-\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)=\frac{a^{*}}{2}\left(-\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)$

$\vec{e}^{\ *}_{2}=\frac{2\pi}{a}\left(\vec{e}_{x}-\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)=\frac{a^{*}}{2}\left(\vec{e}_{x}-\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)$

$\vec{e}^{\ *}_{3}=\frac{2\pi}{a}\left(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}-\vec{e}_{z}\right)=\frac{a^{*}}{2}\left(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}-\vec{e}_{z}\right)$

Diese bilden ein kubisch-raumzentriertes (bcc) Gitter mit der Gitterkonstanten $a^{*}=\frac{4\pi}{a}$.

Siehe auch

• Dualraum

Quellen

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
• Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1991, ISBN 3-326-00083-9.