Epanechnikov-Kern

Zeichnung des Epanechnikov-Kerns

Der Epanechnikov-Kern (nach V. A. Epanechnikov) ist derjenige Kern, der für einen kompakten Träger folgende Eigenschaften erfüllt:

1. k > 0
2. $\int k(x) \mathrm dx = 1$
3. $\int x^2 k(x) \mathrm dx = 1$
4. $\int k^2(x) \mathrm dx$ wird minimiert.

Durch diese Eigenschaften minimiert der Epanechnikov-Kern unter allen Kernen die mittlere quadratische Abweichung des zugehörigen Kerndichteschätzers.

Der von Epanechnikov selbst angegebene Kern ist^[1]:

$k_E(x) = \begin{cases} \frac{3}{4 \sqrt{5}} \left( 1- \frac{x^2}{5}\right) &, |x| \leq \sqrt{5}\\ 0 &, |x| > \sqrt{5} \end{cases}$

Mitunter wird auch folgender einfacherer Kern als Epanechnikov-Kern genannt, der jedoch Eigenschaft 3 nicht erfüllt:

$k_E(x) = \begin{cases} \frac{3}{4}(1-x^{2}) &, |x| \leq 1\\ 0 &, |x| > 1 \end{cases}$

Weblinks

• Beweis der Eigenschaften des Epanechnikov-Kerns (PDF-Datei; 66 kB)

Quellen

1. ↑ V. A. Epanechnikov: Non-Parametric Estimation of a Multivariate Probability Density. In: Theory of Probability and its Applications, 1969, S. 156