Faulhabersche Formel

Die Faulhabersche Formel, benannt nach Johannes Faulhaber, beschreibt, wie sich die Summe der ersten n p-ten Potenzen

$\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p \qquad \left(\mbox{mit } p \in \mathbb{N} \right)$

mit einem Polynom in n vom Grad p+1 berechnen lässt. Zur Berechnung der Koeffizienten dieses Polynoms werden die Bernoulli-Zahlen benötigt. Im Folgenden bezeichne β_j die j-te Bernoulli-Zahl, mit der Ausnahme $\beta_1=\frac{1}{2}$, dann sieht die Faulhabersche Formel wie folgt aus:

$\sum_{k=1}^n k^p = \frac{1}{p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} \beta_j n^{p+1-j}\qquad \left(\mbox{mit } \beta_1 = {1 \over 2} \mbox{ anstatt }-{1 \over 2}\right)$

Explizite Berechnung ersten sechs Fälle

$1 + 2 + 3 + \cdots + n = {n(n+1) \over 2} = {n^2 + n \over 2}$     (Gaußsche Summenformel)

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = {n(n+1)(2n+1) \over 6} = {2n^3 + 3n^2 + n \over 6}$     (Quadratische Pyramidalzahl)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left({n^2 + n \over 2}\right)^2 = {n^4 + 2n^3 + n^2 \over 4}$

$1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = {6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n \over 30}$

$1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 = {2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2 \over 12}$

$1^6 + 2^6 + 3^6 + \cdots + n^6 = {6n^7 + 21n^6 + 21n^5 -7n^3 + n \over 42}$

Eine alternative Darstellung

Wenn man statt den ersten n nur die ersten n-1 Potenzen betrachtet, so kann man die Faulhabersche Formel auch ohne die Ausnahme für β₁ beschreiben und β₁ steht dann für die erste Bernoulli-Zahl:

$\sum_{k=1}^{n-1} k^p = \frac{1}{p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} \beta_j n^{p+1-j}\qquad \left(\mbox{mit } \beta_j = j\mbox{-te Bernoulli-Zahl}\right)$

Zusammenhang mit Bernoulli-Polynomen

Die Summe der ersten n p-ten Potenzen lässt sich auch mit Hilfe von Bernoulli-Polynomen ausdrücken:

$\sum_{k=0}^{n} k^p = \frac{\varphi_{p+1}(n+1)-\varphi_{p+1}(0)}{p+1},$

Hierbei bezeichnet φ_j das j-te Bernoulli-Polynom.

Faulhaber-Polynome

Die Summen ungerader Potenzen

$\sum_{k=1}^n k^{2p+1} = 1^{2p+1} + 2^{2p+1} + 3^{2p+1} + \cdots + n^{2p+1} \qquad \left(\mbox{mit } p \in \mathbb{N}_0 \right)$

lassen sich auch als Polynom in $N=1+\ldots+n$ darstellen, solche Polynome in N statt in n werden auch als Faulhaber-Polynome bezeichnet.

Einige Beispiele:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = N^2\,$

$1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 = \frac{4N^3 - N^2}{3}$

$1^7 + 2^7 + 3^7 + \cdots + n^7 = \frac{12N^4 -8N^3 + 2N^2}{6}$

$1^9 + 2^9 + 3^9 + \cdots + n^9 = \frac{16N^5 - 20N^4 +12N^3 - 3N^2}{5}$

$1^{11} + 2^{11} + 3^{11} + \cdots + n^{11} = \frac{32N^6 - 64N^5 + 68N^4 - 40N^3 + 5N^2}{ 6}$

Historisches

Johannes Faulhaber selbst kannte die Formel nicht in der hier beschriebenen Form, sondern berechnete lediglich die ungeraden Fälle $p=1,3,5,\ldots,17$ als Polynom in $N=1+\ldots+n$ und vermutete, dass für alle ungeraden Zahlen p ein entsprechendes Polynom existiere, ohne jedoch einen Beweis dafür zu haben. Das Konzept der Bernoulli-Zahlen war ihm ebenfalls nicht bekannt. Im Jahre 1834 veröffentlichte Carl Gustav Jacob Jacobi den ersten bekannten Beweis.^[1] Weitere Beweise wurden unter anderem 1923 von L.Tits und 1986 von A. W. F. Edwards publiziert.^[2][3] Donald Ervin Knuth untersuchte Verallgemeinerungen und trug zur Popularisierung der Faulhaberschen Formel bei.

Literatur

• John H. Conway; Richard Guy: The Book of Numbers. New York: Copernicus, 1998. (ISBN 0-387-97993-X), S. 107.
• Johann Faulhaber: Academia Algebrae. Darinnen die miraculosische Inventiones, zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden. Dergleichen zwar vor 15. Jahren den Gelehrten auff allen Vniversiteten in gantzem Europa proponiert, darauff continuiert, auch allen Mathematicis inn der gantzen weiten Welt dediciert, aber bißhero, noch nie so hoch, biß auff die regulierte Zensicubiccubic Coß, durch offnen Truck publiciert worden. Welcher vorgesetzet ein kurtz Bedencken, Was einer für Authores nach ordnung gebrauchen solle, welcher die Coß fruchtbarlich, bald, auch fundamentaliter lehrnen vnd ergreiffen will. Augsburg: Johann Ulrich Schönig, 1631. (Online-Kopie in der Google Buchsuche)

Siehe auch

• Euler-Maclaurin-Formel

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Faulhaber's formula. In: MathWorld. (englisch)
• „Johann Faulhaber and Sums of Powers“ von Donald Knuth (englisch)
• Faulhaber-Biographie mit Informationen zur Faulhaberschen Formel bei MacTutor

Einzelnachweise

1. ↑ Carl Gustav Jacob Jacobi: De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae. In: Crelles Journal für die reine und angewandte Mathematik 12 (1834), S. 263-272.
2. ↑ L. Tits: Sur la sommation des puissances numériques. In: Mathesis 37 (1923), S. 353-355.
3. ↑ Anthony William Fairbank Edwards: A quick route to sums of powers. In: American Mathematical Monthly 93 (1986), S. 451-455.