Flachheit (Algebra)

Flachheit von Moduln ist eine Verallgemeinerung des Begriffs "freier Modul".

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition

Ein Modul M über einem Ring R heißt flach, wenn der Funktor

$N\mapsto M\otimes_R N$

exakt ist. (Siehe Tensorprodukt.)

Äquivalente Charakterisierungen sind:^[1]

• Tor₁(N, M) = 0 für alle R-Moduln N. (Siehe Tor (Mathematik).)
• Für jedes Ideal I von R ist

$I\otimes_R M\to IM$

injektiv.

• Tor₁(R/I, M) = 0 für alle Ideale I von R.

Eigenschaften

• Alle projektiven und damit alle freien Moduln sind flach. Umgekehrt ist jeder endlich präsentierte flache Modul projektiv.^[2]
• Flache Moduln sind torsionsfrei.^[3] Über Dedekindringen (insbesondere also über Hauptidealringen) stimmen die Begriffe "flach" und "torsionsfrei" sogar überein.^[4]
• Es sei

$0\to N'\to N\to N''\to 0$

exakt. Dann ist die Sequenz

$0\to M\otimes N'\to M\otimes N\to M\otimes N''\to0$

exakt, falls M oder N′′ flach ist.^[5] Dies entspricht der Symmetrie des Funktors Tor.

Literatur

• David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, New York 1995. ISBN 0-387-94269-6
• Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989. ISBN 0-521-36764-6
• Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press, Oxford 2006. ISBN 0-19-920249-4

Einzelnachweise

1. ↑ Matsumura, a.a.O., Theorem 7.7 und Theorem 7.8, S. 51f.
2. ↑ Eisenbud, a.a.O., Corollary 6.6, S. 166; Matsumura, a.a.O., Corollary 7.12, S. 53
3. ↑ Eisenbud, a.a.O., Corollary 6.3, S. 164
4. ↑ Liu, a.a.O., Corollary 1.2.14, S. 11
5. ↑ Liu, a.a.O., Proposition 2.6, S. 9