Fréchet-Ableitung

Die Fréchet-Ableitung (nach Maurice René Fréchet) verallgemeinert den Begriff der Ableitung aus der üblichen Differentialrechnung im $\mathbb{R}^n$ auf normierte Räume. Bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Räumen stimmt sie mit der üblichen totalen Ableitung überein und kann durch die Jacobi-Matrix, deren Einträge die partiellen Ableitungen sind, dargestellt werden.

Definition

Beziehung der drei Abbildungen

Es seien X und Y normierte Räume und $U\subset X$ eine offene Teilmenge. Ein Operator $A \colon U\to Y$ heißt Fréchet-differenzierbar an der Stelle $\varphi\in U$, wenn es einen beschränkten linearen Operator $A'(\varphi) \colon X\to Y$ derart gibt, dass

$\lim_{h\to 0} \frac{1}{\|h\|}\, \|A(\varphi+h)-A(\varphi)-A'(\varphi)h\|=0$

gilt. Der Operator A'(φ) heißt Fréchet-Ableitung von A an der Stelle φ. Existiert die Fréchet-Ableitung für alle $\varphi\in U$, dann heißt die Abbildung $A':U\to L(X,Y)$ mit $\varphi\mapsto A'(\varphi)$ die Fréchet-Ableitung von A auf U. Mit L(X,Y) wird der Raum der stetigen linearen Abbildungen von X nach Y bezeichnet.

Äquivalente Definition

Eine äquivalente Definition ist:

Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0 so, dass

$\|A(\varphi+h)-A(\varphi)-A'(\varphi)h\|\le \epsilon \|h\|$

für alle $h\in X$ mit $\|h\|\le \delta$. Dies lässt sich auch kurz mit Hilfe der Landau-Symbole schreiben:

$A(\varphi+h)-A(\varphi) = A'(\varphi)h + o(\|h\|)$ für $h\to 0$.

Beispiele

Lineare Operatoren

Für endlichdimensionale normierte Räume X,Y sind alle linearen Operatoren $A \colon X\to Y$ Fréchet-differenzierbar mit konstanter Ableitung. An jedem Punkt ist die Ableitung der lineare Operator selbst: A' = A.

Im unendlichdimensionalen Fall sind unter den linearen Operatoren genau die beschränkten (=stetigen) Fréchet-differenzierbar. Unbeschränkte lineare Operatoren sind nicht Fréchet-differenzierbar.

Reellwertige Funktionen

Ist $f \colon U\to \mathbb{R}$ eine reellwertige Funktion, die auf einer offenen Menge $U\subset\mathbb{R}^n$ definiert ist, und besitzt f stetige partielle Ableitungen, dann ist f auch Fréchet-differenzierbar. Die Ableitung an der Stelle x wird durch den üblichen Gradienten von f gegeben gemäß:

$f'(x) \colon h\mapsto \mbox{grad} f(x)\cdot h=\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)\, h_i$

Dieses Beispiel zeigt den Zusammenhang zur üblichen Differentialrechnung im $\mathbb{R}^n$. Die Fréchet-Ableitung ist also tatsächlich eine Verallgemeinerung der Differentialrechnung für normierte Räume.

Integraloperator

Sei $J = [a,b] \subset \R$, $K \colon J \times J \to \R$ stetig und $f \colon J \times \R \to \R$ stetig und im zweiten Argument stetig differenzierbar. Der nichtlineare Integraloperator $F \colon C(J) \to C(J)$ definiert durch

$(Fx)(t) = \int_a^b k(t,s) f(s,x(s)) \mathrm{d} s$

ist frèchet-differenzierbar. Seine Ableitung $F^\prime$ lautet

$(F^\prime(x) h)(t) = \int_a^b k(t,s) \frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s))\, h(s) \mathrm{d} s.$

Aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gilt nämlich

$f(s,x(s) + h(s)) - f(s,x(s)) = \frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s) + \rho(s)h(s)) \, h(s)$

mit 0 < ρ(s) < 1 und wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von $\tfrac{\partial f}{\partial x}$ auf $J \times \{z \in \R: |z| \leq \sup |x| + 1\}$ gilt

$\sup_{s \in J} \left|\frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s) + \rho(s) h(s)) - \frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s)) \right| \leq \epsilon$

für $\sup|h| \leq \delta$. Für $\sup|h| \leq \delta$ gilt also

$\sup \left| F(x+h) - F(x) - \int_a^b k( \cdot , s) \frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s)) h(s) \mathrm{d} s \right| \leq \epsilon \, \sup|h| \, \max_{(t,s) \in J \times J} |k(t,s)|,$

was die Darstellung der Ableitung beweist.

Rechenregeln

Es lassen sich die üblichen Rechenregeln für die totale Ableitung im $\mathbb{R}^n$ auch für die Fréchet-Ableitung zeigen. Folgende Gleichungen gelten, sofern sie im Sinne obiger Definition sinnvoll sind, insbesondere also die vorkommenden Abbildungen an den entsprechenden Stellen differenzierbar sind:

• (A + B)'(φ) = A'(φ) + B'(φ)
• (λA)'(φ) = λA'(φ).
• Kettenregel: $(A\circ B)'(\varphi)=(A'\circ B)(\varphi)\, B'(\varphi)$. Das Produkt $(A'\circ B)(\varphi)\, B'(\varphi)$ ist hierbei im Sinne der Multiplikation (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen zu verstehen.
• Ist A ein stetiger, linearer Operator, so ist A überall differenzierbar und es gilt A'(φ) = A. Zusammen mit der Kettenregel ergibt sich daraus die Folgerung, dass man stetige, lineare Operatoren aus der Ableitung herausziehen darf: $(A\circ B)'(\varphi)=A\, B'(\varphi)$ und $(B\circ A)'(\varphi)=B'(A(\varphi))\,A$.
• Produktregel: Ist $A: X_1\times\ldots\times X_n\to Y$ eine stetige, n-fach lineare Abbildung, so ist $A'(\varphi_1,\ldots,\varphi_n):(h_1,\ldots,h_n)\mapsto A(h_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_n)+\ldots+A(\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-1},h_n)$

Zusammenhang zwischen Fréchet- und Gâteaux-Ableitung

Sei A an der Stelle φ Fréchet-differenzierbar, dann existiert für jede beliebige Richtung $h \in X$ das Gâteaux-Differential δA(φ,h) und es gilt:

δA(φ,h) = A'(φ)h.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Außerdem existiert dann die Gâteaux-Ableitung von A an der Stelle φ, die im Folgenden mit A'_s(φ) bezeichnet wird, und es gilt:

A'_s(φ) = A'(φ).

Auch hier gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht.

Unter folgenden Bedingungen gilt auch die Umkehrung:

Sei $U_\epsilon(\varphi) = \{ x \in X \; | \; \|x- \varphi\| < \epsilon \}$ mit $U_\epsilon(\varphi) \subset U \subset X, \epsilon > 0$ eine offene Kugel um den Punkt φ. Wenn $A: U \to Y$ in jedem Punkt $\varphi \in U_\epsilon(\varphi)$ Gâteaux-differenzierbar ist und die Abbildung

$A'_s(.) : U_\epsilon(\varphi) \to \mathcal{L}(X,Y)$ gegeben durch $\psi \mapsto A'_s(\psi)$

im Punkt φ stetig ist, dann ist A im Punkt φ Fréchet-differenzierbar und es gilt:

A'(φ) = A'_s(φ).

Anwendungsbeispiel

Die Fréchet-Ableitung kann z. B. zur Lösung sogenannter inverser Randwertprobleme im Rahmen eines Newton-Verfahrens verwendet werden. Als Beispiel für diese Anwendung betrachten wir ein inverses Randwertproblem zur Laplace-Gleichung:

Es sei $D\subset\mathbb{R}^2$ ein unbekanntes Gebiet. Wir betrachten das äußere Dirichlet-Problem, bei dem die Randwerte auf $\partial D$ durch eine Quelle im Punkt $z\in\mathbb{R}^2\setminus \bar D$ gegeben sind. Dann erfüllt die beschränkte und zweimal stetig differenzierbare Funktion u in $\mathbb{R}^2\setminus \bar D$ die Laplace-Gleichung:

$\Delta u=0 \quad\mbox{in}\,\, \mathbb{R}^2\setminus \bar D$

und die Dirichlet Randbedingung:

$u=-\Phi(\cdot,z)\quad\mbox{auf}\,\,\partial D.$

Mit Φ bezeichnen wir die Fundamentallösung zur Laplace-Gleichung, die eine Punktquelle im Punkt z beschreibt.

Beim inversen Randwertproblem gehen wir von einem zweiten (bekannten) Gebiet $B\subset \mathbb{R}^2$ aus, welches D enthält. Auf dem Rand $\partial B$ von B messen wir die Werte der Lösung u des direkten Dirichlet-Problems. Wir kennen also die Spur $u|_{\partial B}$. Unser Ziel ist nun den unbekannten Rand $\partial D$ von D aus der Kenntnis dieser Spur zu rekonstruieren.

Dieses Problem lässt sich formal durch einen Operator F beschreiben, der den unbekannten Rand $\partial D$ auf die bekannte Spur $u|_{\partial B}$ abbildet. Wir müssen also folgende nichtlineare Gleichung lösen:

$F(\partial D)=u|_{\partial B}$

Diese Gleichung kann z. B. mit Hilfe des Newton-Verfahrens linearisiert werden. Dazu schränken wir uns auf Gebiete D ein, dessen Rand wie folgt dargestellt werden kann:

$\displaystyle x(t)=r(t)(\cos(t),\sin(t))$

Wir suchen nun also die unbekannte Radiusfunktion r. Die linearisierte Gleichung (das Newton-Verfahren) sieht dann wie folgt aus:

$F(r)+F'(r,q)=u|_{\partial B}$

Hierbei bezeichnet $\displaystyle F'$ die Fréchet-Ableitung des Operators $\displaystyle F$ (Die Existenz der Fréchet-Ableitung für $\displaystyle F$ kann gezeigt werden und $\displaystyle F'$ kann über ein direktes Randwertproblem bestimmt werden!). Diese Gleichung wird dann nach q aufgelöst, wobei wir mit r + q eine neue Näherung an den unbekannten gesuchten Rand gefunden haben. Anschließend kann mit dieser Näherung das Verfahren iteriert werden.

Literatur

• Rainer Kress: Linear Integral Equations. Second Edition. Springer 1998, ISBN 0-387-98700-2
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. Teubner, Stuttgart – Leipzig, ISBN 3-519-42232-8