Gammakorrektur

Die Gammakorrektur ist eine namentlich im Bereich der Bildverarbeitung häufig verwendete Korrekturfunktion zur Überführung einer physikalisch proportional (d.h. linear) wachsenden Größe in eine dem menschlichen Empfinden gemäß nicht linear wachsende Größe. Mathematisch gesehen handelt es sich bei dieser Funktion um eine Potenzfunktion mit einem oft nur kurz Gamma genannten Exponenten als einzigem Parameter.

Einführung

Übertragungskurven für γ=3, 1, und 0.3.

Die Gammakorrektur überführt eine Eingangsgröße I_in gemäß einer Abbildungsvorschrift in eine Ausgangsgröße I_out :

$I_{\mathrm{out}} = {I_{\mathrm{in}}}^{\gamma}$

Je nach Größe des Parameters γ (Gamma) unterscheidet man drei Fälle:

• γ=1: I_out = I_in, die Abbildung ist linear.
• γ<1: Die Abbildung ist konkav. Kleine Eingabewerte werden stark gespreizt, große gestaucht.
• γ>1: Die Abbildung ist konvex. Kleine Eingabewerte werden gestaucht, große gespreizt.

In der Grafik sind drei Beispielkurven eingezeichnet für γ=3, 0,3 und 1. Manchmal wird auch der Kehrwert als Gamma bezeichnet: γ → 1/γ

Geschichte

Der Normtext von DIN EN 61966-2 Anhang A (Farbmessung und Farbmanagement) verweist dabei auf die anfängliche Verwendung des Begriffs Gammakorrektur in der Fotografie durch Ferdinand Hurter und Vero Charles Driffield seit den 1890er Jahren. In der Fotografie wird er bisweilen synonym für Anstieg, Gradient und Kontrast benutzt. Definitionen für Bildschirmwiedergabe stammen von Irving Langmuir in den 1910er Jahren und von Oliver in den 1940er Jahren.

Zu unterscheiden sind auch „Elektronenkanonen“-Gammawerte von „Leuchtstoff“-Gammawerten. Die DIN EN-Norm 61966-A spricht deshalb von einer „Mehrdeutigkeit in der Definition des Begriffes 'Gamma'“ und empfiehlt, den Begriff in normativen Zusammenhängen nicht mehr zu verwenden.

Wahrnehmung und Gammakorrektur

Die vom Menschen empfundene Helligkeit steigt in dunklen Bereichen steiler und in hellen weniger steil an. Die Stevenssche Potenzfunktion ordnet dem menschlichen Auge dabei ein Gamma von ca. 0,3 bis 0,5 zu. Soll das Helligkeitssignal eines linear arbeitenden Anzeigegerätes, beispielsweise eines Monitors, linear wahrgenommen werden, muss es daher mit dem reziproken des obigen Gammawerts (ca. 3,3 bis 2) vorverzerrt werden, damit sich beide Nichtlinearitäten für den Betrachter am Ende wieder aufheben. Ein typischer Wert für Bildschirme ist etwa ein Gamma von 2,2.

oben: linearer Bildsensor (z.B. CCD) führt an Anzeige mit Gamma >1 zu einem kontrastreichen aber unnatürlichen Bild
unten: Bildaufnehmer mit vorsätzlichem Gamma <1 führt durch Anzeige mit passendem Gamma >1 zu einem originalgetreu wahrnehmbaren Bild
(rechts unterhalb findet sich jeweils die Gamma-Kurve, die das Gesamtverhalten des Systems beschreibt)

Beispiel Monitore

Das mittlere Originalbild zeigt einen Graustufenkeil und drei Stufenkeile in den gesättigten Farben Rot, Grün und Blau, die jeweils 32 Felder mit linear zunehmender Helligkeit haben. Das linke Bild zeigt das Bild nach einer Gammakorrektur mit dem Exponenten γ = 0,5 und das rechte Bild nach einer Gammakorrektur mit dem Exponenten γ = 2,0. Die Helligkeiten der dunkelsten und hellsten Felder bleiben immer erhalten. Das jeweils 17. Feld von links hat im Originalbild (γ = 1,0) eine Helligkeit von 50 %, im linken Bild (γ = 0,5) eine Helligkeit von $0{,}5^{0{,}5} = 0{,}71 = 71\ %$ und im rechten Bild eine Helligkeit von $0{,}5^{2{,}0} = 0{,}25 = 25\ %$.

γ = 0,5	γ = 1,0	γ = 2,0

Windows

Der Gamma-Wert eines durchschnittlichen mit Windows betriebenen Monitors liegt bei 2,2. Diese Einstellung empfiehlt sich, da fotografische Labore ebenfalls mit einem Gamma von 2,2 arbeiten, und so ein für gut befundenes Bild am Monitor auch dementsprechend belichtet wird. Über die Angabe eines Ausgabefarbprofils kann man das Gamma indirekt festsetzen. Hier bietet sich die Verwendung des sRGB-Profils für den „normalen“ Benutzer an, dem ein Gamma von 2,2 zu Grunde liegt.

Mac OS

Derselbe Monitor an einem Mac wurde bis vor kurzem standardmäßig mit einem Gamma von 1,8 betrieben. Die Gründe entstammen noch der Zeit vor dem Color Management des ICC. Ein Gamma von 1,8 war für einen Workflow ohne Farbmanagement gedacht, damit die Monitordarstellung besser der Tonwertreproduktion von Schwarzweißdruckern entsprach. Heutzutage werden die Gammawerte durch Farbprofile (z. B. vom ICC) ergänzt; das Standard-Mac-Farbprofil enthält dabei ein Gamma von 1,8. Ab Mac OS X 10.6 (Snow Leopard) liegt der Standard-Gammawert bei 2,2.^[1]

Gamma-Testgrafik

Verfahren

Um den ungefähren Gamma-Wert eines Monitors zu bestimmen, verwendet man eine Grafik, die mit einem 50 % gedeckten schwarzen Punktemuster bedruckt ist (schachbrettartig, aber feiner aufgelöst) und vergleicht diese mit einem grauen Feld (Helligkeitswert 50 %). Beide Flächen müssen dann – leicht unscharf betrachtet – gleich „grau“ erscheinen.

Hat man so den tatsächlichen Gamma-Wert seines Monitors herausgefunden, kann man mit Hilfe der Grafikeinstellungen seines Computers einen eigenen, von den Werksvorgaben unabhängigen Wert einstellen. Indem man in den Grafikeinstellungen den Kehrwert des gefundenen Wertes als Gamma einstellt, wird die Gamma-Korrektur des Monitors (theoretisch) neutralisiert; es ergibt sich ein tatsächlicher Gamma-Wert von 1. Will man einen tatsächlichen Gamma-Wert von z. B. 2,2 erhalten, so muss man den Kehrwert mit 2,2 multiplizieren und diesen Wert als Gamma-Wert einstellen. Hat man z. B. einen tatsächlichen Gamma-Wert von 1,3 festgestellt, so muss man in den Grafikeinstellungen den Wert 0,77 einstellen, um die Gamma-Korrektur zu neutralisieren, und 1,69, um den tatsächlichen Gamma-Wert von 2,2 zu erreichen.

Anleitung

Diese Bestimmung ist mit der unten stehenden Grafik möglich: Lehnen Sie sich zurück, kneifen Sie Ihre Augen etwas zusammen und bestimmen Sie, welches kleine Quadrat gegen den zart gestreiften Hintergrund zu verschwinden scheint. Die darin befindliche Zahl ergibt den eingestellten Monitor-Gamma-Wert.

Der Test funktioniert aber nur korrekt, wenn in dem Bild (auf dem Monitor, auf dem es angezeigt wird) keine Moiré-Effekte in Form horizontaler, paralleler Interferenzmuster erscheinen. Es sollte im Bild konstruktionsgemäß nur ein einziges periodisches Linienmuster auftreten; also gleichmäßig sich von oben nach unten abwechselnde helle und dunkle Linien. Falls zusätzliche periodische Helligkeitswechsel auftreten (die immer breiter sind als das Grundmuster), ist das Bild nicht korrekt dargestellt. Dies lässt sich leicht durch eine Größenänderung des Bildes überprüfen, weil sich dann die Interferenzmuster ändern; die Flure stärkerer und schwächerer Helligkeit werden breiter oder schmaler. Auch scheinen sich die Muster bei einem langsamen Bildlauf relativ zum Bild zu bewegen und relativ zum Monitor stehenzubleiben (ist aber nur ersichtlich, wenn die Muster breit genug sind, ansonsten scheint das Bild lediglich bei Bewegen zu flimmern). Eine Größenänderung des Bildes kann gleichzeitig dazu benutzt werden, die zusätzlichen Muster zu minimieren, um den Test dann korrekt durchzuführen.

Beispiel Bildbearbeitung

Tonwertkorrekturen wie Änderungen der Helligkeit, des Kontrasts usw. überführen Farbwerte eines Bildes in andere Farbwerte desselben Farbraums. Ist die Korrekturfunktion dabei eine Potenzfunktion der Form A=E^γ, spricht man von einer Gammakorrektur. In grober Vereinfachung hebt eine solche Korrektur bei Verwendung von Gammawerten < 1 zu dunkle Bildpartien in ihrer Helligkeit an, während sie bei Verwendung von Gammawerten > 1 - umgekehrt - zu helle Bildpartien wieder in ihrer Helligkeit zurücknimmt. Bei einem Gammawert = 1 schließlich bleibt, da E¹ = E ist, alles beim alten.

Zu berücksichtigen ist allerdings, dass manche Bildbearbeitungsprogramme wie GIMP bei der Gammakorrektur nicht mit dem Gammawert selbst, sondern dem Kehrwert 1/Gamma rechnen, wodurch die Ergebnisse dann genau die entgegengesetzten sind.

Helligkeits-, Kontrast- und Gammakorrektur im Vergleich

• 

  Ursprungsbild

• 

  Bild selektiv aufgehellt mit γ=0,3

• 

  Bild selektiv abgedunkelt mit γ=3

Wird die Korrekturfunktion mit einem Koeffizienten k multipliziert (A=k*E^γ), ergibt sich daraus zusätzlich zu der eigentlichen Gammakorrektur noch eine Kontrasterhöhung (k > 1) bzw. -verminderung (k < 1), bei Hinzufügen einer additiven Konstante h dagegen (A=E^γ+h) über die Gammakorrektur hinaus eine Helligkeitserhöhung (h > 0) bzw. -verminderung (h < 0). In der Praxis führen so allein schon die beiden eben genannten zusätzlichen Optionen schnell zu einer verwirrenden Vielfalt von Korrekturmöglichkeiten - die obige Abb. rechts zeigt daher noch einmal separat das jeweils Charakteristische der Helligkeits-, Kontrast- und Gammawertkorrektur.

Beispiel digitale Videotechnik

Betrachtet wird zunächst ein abbildendes System mit ideal-linearem Verhalten:

1. Beispiel

Ein CCD-Chip (z. B. DV-Cam) nimmt einen – für das menschliche Sehen ausgelegten – Graukeil auf. Der Chip liefert zu den einzelnen Farbfeldern nichtlinear ansteigende Spannungen, da die Felder nichtlinear ansteigende Reflexionsgrade aufweisen, denn diese Felder wurden von einem Menschen optisch durch seine Hellempfindung geeicht (siehe auch Weber-Fechner-Gesetz). Die gespeicherten Werte werden nun auf einem ideal-linear arbeitenden Fernseher wieder ausgegeben. Das Ergebnis würde zufriedenstellend sein, da wiederum nichtlineare Werte zu der gleichen Hellempfindung wie der abgefilmte Graukeil führen würden.

Soweit das einfachste Beispiel eines geschlossenen Systems, das genau aufeinander abgestimmt ist und alle informationstechnischen Anforderungen missachtet. In der Realität haben wir es aber mit offenen Systemen zu tun und wollen die Daten über die Kamera am Computer bearbeiten, diese auf den unterschiedlichen Ausgabemedien ausgeben und immer dasselbe Ergebnis sehen.

2. Beispiel

Die DV-Cam nimmt wieder denselben Graukeil auf. Die Ausgangsspannungen des CCD-Chips werden normiert, so dass der Wertebereich in einem Intervall von [0,1] liegt. Die Werte A durchlaufen nun beispielsweise die folgende Funktion:

Für ein γ₁ von 0,45 gilt:

A = E^0,45

Nun kann man vereinfacht sagen, dass die Werte an das optische System des Menschen angepasst sind. (In der Realität werden die einzelnen Farbkanäle an die Farbreizfunktion des Auges angepasst, siehe Normspektralwertkurve). Normiert man die Werte so, dass diese im Wertebereich von [0,255] liegen, erhalten wir die bekannten 8-Bit-RGB-Tripel, die linear zu unserer Hellempfindung ansteigen. Dies ermöglicht nun verschiedene Operationen der digitalen Bildverarbeitung.

Schreiten wir zur Ausgabe der Bilddaten fort:

Um die Daten für das menschliche Auge richtig abzubilden, müssen diese wiederum angepasst werden, da ein linearer Anstieg der Spannung bei einem ideal-linear arbeitenden Bildschirm keine lineare Hellempfindung hervorrufen würde. Also passen wir die Werte durch eine erneute Gammakorrektur an das Auge an. Zuvor werden die Werte natürlich wieder auf 1 normiert.

Nun mit einem γ₂ von üblicherweise 2,2 (PC) → dies ergibt sich aus dem Kehrwert von 0,45:

$\frac{1}{0{,}45} \sim 2{,}2 \Rightarrow A=E^{2{,}2}$

Das Result entspricht der abgefilmten Graukarte.

Da es keine ideal-linearen Systeme gibt, müssen bei diesem Prozess noch zwei (bzw. sechs) Gammakorrekturen hinzugefügt werden. Zum einen hat der Chip ein nichtlineares Verhalten für die drei Farbkanäle unterschiedlicher Art. Diese müssen durch jeweils eine weitere Gammakorrektur ausgeglichen werden. Zum anderen verhalten sich die drei Leuchtstoffe eines Bildschirms nichtlinear. Die Farbkorrekturen sind bauteilbedingt und werden in der Regel schon in den Geräten selbst implementiert. Nur das Alter eines Geräts lässt das Resultat dieser Korrektur verschlechtern. Der Anwender bekommt von diesen Korrekturen in der Regel nichts mit. Ist die Korrektur veraltet, entsteht meist ein Farbkippen (ein Farbstich unterschiedlicher Färbung und Intensität über einem Graukeilverlauf).

Jedes abbildende System muss sich mit dem Problem der Helligkeitsempfindung auseinandersetzen. Dadurch ist eine Fülle von Gammakorrekturen entstanden. Die Farbfernsehsysteme PAL und NTSC, die Betriebssysteme Microsoft Windows und Mac OS sowie unixoide Systeme, aber auch Druckerhersteller kennen das Problem (siehe auch Tonwertzuwachs).

Gammakorrektur zur Linearisierung

RGB-Monitore und TV-Geräte haben verschiedene Helligkeitsprofile und erfordern häufig eine Korrektur, um das Bild optimal darzustellen.

Idealerweise würde ein Ausgabegerät den Helligkeitswert 0 als Schwarz und den Helligkeitswert 1 als Weiß abbilden und alle dazwischen liegenden Werte linear zwischen Schwarz und Weiß als unterschiedliche Grauwerte darstellen. Dies entspräche einem Gamma von 1.

Aufgrund produktionstechnisch bedingter Faktoren ist eine solche Linearität bei Aufnahmegeräten (z. B. Kameras) oder Ausgabegeräten (z. B. Bildröhren) nicht zu erreichen. Meist spielt die nichtlineare Eingangskennlinie eines Bildwandlers (z. B. eines LCDs) oder eines Kamera-CCD-Chips die entscheidende Rolle. Das heißt, dass bei einem Bild mit konstanter Helligkeitsänderung von Schwarz nach Weiß bei einem Gamma abweichend von 1 entweder die hellen und dunklen Stellen überproportional detailliert abgebildet werden oder aber die mittleren Graustufen.

Damit im weiteren Produktionsweg keine Helligkeitsinformationen verloren gehen oder aber überbetont dargestellt werden, hat jedes Gerät, das eine nichtlineare Übertragungsfunktion besitzt, die Möglichkeit einer Gammakorrektur zur Linearisierung der Abbildungsleistung.

Besitzt ein Gerät mehrere Bildwandler für unterschiedliche Farben, wie z. B. eine Dreiröhrenkamera, so kann dort aufgrund unterschiedlicher Empfindlichkeiten eine Gammakorrektur für jeden einzelnen Farbkanal notwendig sein.

Die Gammakorrektur ist in der digitalen Bildverarbeitung auch als Potenztransformation bekannt.

Details

Der Zusammenhang zwischen den digitalen und den radiometrischen Daten wird in der Literatur als die Kathodenstrahlröhren-Übertragungsfunktion γ (Gamma) bezeichnet.^[2] Der besseren Übersichtlichkeit halber werden wir diese Gesamtfunktion in zwei Teile, den digitalen Teil D (Grafikkarte) und den analogen Teil A (Monitoreingang, Bildschirm), aufspalten.

Der Zusammenhang zwischen der Monitoreingangsspannung und der resultierenden Helligkeit (Leuchtdichte) des einzelnen Bildpunktes, also unsere Funktion A, folgt einer allgemeinen Potenzfunktion. Im einfachsten Modell ist:

A∼E^γ

mit E: auf 1 normierte Eingangsspannung und A: auf 1 normiert Helligkeit.

Grundlage dafür ist das Verhalten der beschleunigten Elektronen innerhalb der Bildröhre, wobei der Haupteffekt auf der abschirmenden Wirkung der Elektronenwolke in der Umgebung der Kathode beruht. Dieses einfache Modell wird durch die Hinzunahme von Konstanten erweitert, die diverse Monitorparameter abbilden. Das Optimum wäre ein linearer Zusammenhang mit Nullpunkt bei Null, maximales Ausgangssignal bei maximalem Eingangssignal sowie linearem Zusammenhang, d. h. γ = 1.

Die Leuchtdichteabhängigkeit der Farbphosphore bezüglich der Stromstärke ist ebenfalls mit einer Potenzfunktion beschreibbar, deren Exponent bei ca. 0,9 liegt. Daraus ergibt sich ein Gesamtexponent γ zu 1,6 (Fernsehen) über 1,8 (Mac-Systeme) bis 2,2 (IBM-PC-kompatible Systeme) für Computermonitore.

Die resultierende Abhängigkeit kann beschrieben durch:

A = H(aE + h)^γ

mit den Parametern

A: Intensität [0..H]

H: maximale Helligkeit der Bildröhre

a: Verstärkung (Kontrast)

h: Offset (Helligkeit)

E: normalisierter Pixelfarbwert, einfach zusammenhängende Teilmenge aus [0..1], Typische Pixelfarbwerte liegen im Intervall [0..255]

γ: Gammaexponent

Ursprung

D: optische Dichte / H: Belichtung

Der Begriff des Gammas wurde erstmals in der Sensitometrie, also zur Beschreibung der Empfindlichkeit von fotografischem Material, eingeführt, wobei es neben dem Gamma-Wert auch verschiedene andere, fotografisches Material in dieser Hinsicht charakterisierende Parameter gibt.

Zur Bestimmung des Gamma-Werts eines fotografischen Materials, z.B. Schwarzweiß-Films oder -Fotopapiers, untersucht man mit Hilfe einer Dichte- oder Gradationskurve (siehe Beispielbild) die Steilheit seiner optischen Dichte, d.h. Schwärzung, in Abhängigkeit von der Belichtung und definiert dabei als Gamma-Wert (γ) die Steigung einer Tangente an den geradlinigen Teil dieser Kurve. Da die Schwärzung von Fotomaterial logarithmisch mit der Belichtung zunimmt, muss dabei in der mathematischen Formulierung dieses Zusammenhangs statt der Belichtung selbst ihr Logarithmus verwendet werden:

$\gamma = \frac{\Delta D}{\Delta \log H}$.

Anhand des so ermittelten Gamma-Werts kann man anschließend z.B. Fotopapiere nach ihrer Gradation in "harte" und "weiche" unterscheiden, d.h. solche, die auf eine Zunahme der Belichtung empfindlicher als "normal" reagieren, oder auch weniger empfindlich. Fälschlicherweise wird der dabei beobachtete Gamma-Wert oft auch zur Beschreibung linearer Tonwertkorrekturen (s.o.) herangezogen, obwohl er in diesem Zusammenhang eher ein Maß für den Kontrast des Bildes ist.

• 

  Simulation von "weichem" Fotopapier mit linearem γ=0.25

• 

  Histogramm für eine "weiche" lineare Tonwertkorrektur

• 

  Simulation von "hartem" Fotopapier mit linearem γ=4

• 

  Histogramm für eine "harte" lineare Tonwertkorrektur

Quellen

1. ↑ http://www.apple.com/de/macosx/refinements/enhancements-refinements.html
2. ↑ Berns R.S. 1993a; CRT Colorimetrie. Part I: Theory and Practice; Color Research and Applications 18. (1993) 299-314

Literatur

• Irving Langmuir: The effect of space charge and residual gases on thermionic current in high vacuum. In: Phys. Rev.. 2, 1913, S. 450-486.
• B.M. Oliver: Tone rendition in television. In: Proc. IRE. 38, 1950, S. 1288–1300.
• Katoh: Corresponding Color Reproduction from Softcopy Images to Hardcopy Images. Promotionsarbeit; Chiba Univ. Japan, 2002
• CIE: The Relationship between Digital and Colorimetric Data for Computer Controlled CRT Displays. (CIE Publication No. 122-1996). Commission Internationale de l'Eclairage, Wien 1996
• Wilhelm Burger, Mark James Burge: Digitale Bildverarbeitung: Eine kompakte Einführung mit Java und ImageJ. 2. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-30940-6.

Weblinks

• Gamma Correction, http://www.graphics.cornell.edu/%7Ewestin/gamma/gamma.html
• Gamma FAQ, http://ww.poynton.com/GammaFAQ.html
• Display gamma estimation applet, http://www.tsi.enst.fr/~brettel/TESTS/Gamma/Gamma.html
• The Monitor calibration and Gamma assessment page, http://www.photoscientia.co.uk/Gamma.htm
• Gamma correction test page, http://entropymine.com/jason/testbed/gamma/
• Gamma Correction, http://www.worldserver.com/turk/computergraphics/gamma.html
• Gamma der Farben mit Gimp bearbeiten