Gaußsche Summe

Die Gauß-Summe oder Gaußsche Summe ist ein bestimmter Typ einer endlichen Summe von Einheitswurzeln, typischerweise

$G(\chi) := G(\chi, \psi)= \sum \chi(r)\cdot \psi(r)$

Dabei geht die Summe über die Elemente r eines endlichen kommutativen Rings R, ψ(r) ist ein Gruppenhomomorphismus der abelschen Gruppe R⁺ in den Einheitskreis und χ(r) ist ein Gruppenhomomorphismus der Einheitengruppe R^× in den Einheitskreis, fortgesetzt (durch den Wert 0) auf Nichteinheiten r. Gaußsummen sind Analogien zu den endlichen Körpern der Gammafunktion. Solche Summen sind in der Zahlentheorie allgegenwärtig. Sie finden z.B. Verwendung bei den funktionalen Gleichungen der Dirichletschen L-Funktion, wo für einen Dirichlet-Charakter χ die Gleichung in der Beziehung zwischen L(s, χ) und L(1 − s, χ*) den Faktor

$G(\chi)\ /\ |G(\chi)|$

verwendet, wobei χ* die komplex Konjugierte von χ ist.

Ursprünglich betrachtete Carl Friedrich Gauß die quadratische Gaußsche Summe für einen Körper R der Residuen modulo einer Primzahl p und χ das Legendre-Symbol. Gauß bewies, dass G(χ) = p^1/2 oder ip^1/2, je nachdem ob p kongruent zu 1 oder 3 modulo 4 ist.

Eine alternative Form dieser Gaußschen Summe ist:

$\sum e^{\frac{2 \pi i r^2}{p}}$

Quadratische Gaußsche Summen sind mit der Theorie der Thetafunktionen eng verbunden.

Die allgemeine Theorie der Gaußschen Summe wurde im frühen neunzehnten Jahrhundert, unter Verwendung der Jacobi-Summen und deren Primzahlenzerlegung in Kreisteilungskörpern, entwickelt. Summen über den Mengen, wo χ einen bestimmten Wert annimmt, wenn der zugrundeliegende Ring der Residuen-Ring modulo einer ganzen Zahl N ist, werden durch die Theorie der Gaußschen Perioden beschrieben.

Der absolute Wert einer Gaußschen Summe wird üblicherweise als Anwendung des Satzes von Plancherel auf endlichen Gruppen benutzt. Im Fall, dass R ein Körper von p Elementen und χ nichttrivial ist, ist der absolute Wert p^1/2. Die Bestimmung des exakten Wertes von allgemeinen Gaußschen Summen aus dem Ergebnis von Gauß für den quadratischen Fall ist ein lange ungelöstes Problem. Für einige Fälle siehe Kummer-Summe.

Siehe auch

• Satz von Stickelberger
• Gaußsche Summenformel (die populäre …)

Referenzen

• Kenneth Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory. 2. edition. Springer-Verlag, New York u. a. 1990, ISBN 0-387-97329-X (Graduate texts in mathematics 84).
• Bruce C. Berndt, Ronald J. Evans, Kenneth S. Williams: Gauss and Jacobi Sums. Wiley, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-471-12807-4 (Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts 21 = A Wiley-interscience publication).