Geneigte Ebene

Eine schiefe Ebene oder geneigte Ebene ist in der Mechanik eine ebene Fläche, die gegen die Horizontale geneigt ist. Sie wird verwendet, um den Kraftaufwand zur Höhenveränderung einer Masse zu verringern. Der Arbeitsaufwand bleibt jedoch unverändert. Die schiefe Ebene gehört wie der Flaschenzug und die Schraube zu den einfachen Maschinen.

Bei einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel α von 45° (entsprechend einem Anstieg von 100 %) verlängert sich die Strecke zum Heben eines Gewichts von z. B. 10 Metern in der Senkrechten auf etwa 14,1 Meter entlang der schiefen Ebene, wodurch sich der Kraftaufwand (unter Vernachlässigung der Reibung) auf 71 % reduziert. Wird der Neigungswinkel auf 22,5° (gleich einer Steigung von 41,5 %) halbiert, verlängert sich die Strecke l auf rund 22 Meter, der Kraftaufwand verringert sich auf ca. 45 % im Vergleich zum direkten Heben.

Anwendungen dieses Prinzips finden sich z. B. bei Serpentinen im Gebirge, Rampen, die im Altertum zur Errichtung von Gebäuden benutzt wurden, Fahrrad- oder Rollstuhlrampen usw. Schrauben lassen sich auch als Zylinder mit einer aufgewickelten schiefen Ebene betrachten.

Das Werkzeug Keil nutzt die Prinzipien der schiefen Ebene.

Physikalische Grundlagen

Im Folgenden wird die Situation einer ruhenden Masse im Gleichgewicht auf einer schiefen Ebene beschrieben.

Die Gewichtskraft F_G einer Masse, die sich auf einer schiefen Ebene befindet, hat seinen Angriffspunkt im Schwerpunkt der Masse. Sie wird zur Beschreibung des Problems in zwei Komponenten zerlegt, die Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft F_GH parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene und die Normalkomponente der Gewichtskraft F_GN senkrecht zur Oberfläche. Es ist strikt zu unterscheiden zwischen den echt wirkenden Kräften und der Zerlegung der Gewichtskraft in zwei Komponenten – die Komponenten sind keine wirkenden Kräfte. Die Normalkraft F_N, welche von unten auf die Masse wirkt, ist eine Kontaktkraft und steht senkrecht zur Ebene. Ihr Angriffspunkt ist nicht im Schwerpunkt der Kontaktfläche, da der Druck nicht konstant ist. Der Betrag der Normalkraft F_N ist gleich dem Betrag der Normalkomponente der Gewichtskraft F_GN. Eine weitere Kraft, die wirkt, ist die Haftreibungskraft F_RH. Auch diese ist eine Kontaktkraft und greift im Schwerpunkt der Kontaktfläche an – ist jedoch parallel zur Ebene und entgegengesetzt der Richtung der Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft F_GH.

Damit der Körper in Ruhe bleibt, muss die Hangabtriebskraft F_GH kleiner sein als die maximal mögliche Haftreibungskraft F_RH,Max. Letztere ist durch den Haftreibungskoeffizient µ_H und dem Betrag der Normalkraft F_N gegeben. Es gilt F_RH ⇐ F_RH,Max = µ_H * F_N. Ist diese Bedingung nicht erfüllt (weil z. B. der Neigungswinkel der Ebene zu groß ist oder der Haftreibungskoeffizient µ_H zu klein), beginnt die Masse zu rutschen.

Hat die Masse eine Geschwindigkeit oder wirken noch weitere Kräfte, so müssen zusätzliche Überlegungen und Fallunterscheidungen gemacht werden, die hier noch nicht beschrieben sind. Die detaillierte mathematische Beschreibung der ruhenden Masse auf der schiefen Ebene ist im nächsten Abschnitt festgehalten.

Körper in Ruhe

Schiefe Ebenen mit einem Neigungswinkel α.
Rot ist die Gewichtskraft und ihre Zerlegung in die Komponenten, grün sind die Kontaktkräfte zwischen Körper und Unterlage

Folgende Bezeichnungen werden verwendet:

F_G  : Gewichtskraft der Masse

F_GN  : Normalkomponente der Gewichtskraft F_G

F_N  : Normalkraft

F_GH : Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft F_G

F_R : Haftreibungskraft

α  : Neigungswinkel der schiefen Ebene

μ_H  : Haftreibungs-Koeffizient

μ  : Gleitreibungskoeffizient – hier nicht verwendet

h  : Höhe der schiefen Ebene

b  : Basis der schiefen Ebene

l  : Länge der schiefen Ebene

Die Gewichtskraft F_G kann aufgeteilt werden in eine Komponente senkrecht zur schiefen Ebene (Normalkomponente F_GN) und eine Komponente parallel zur schiefen Ebene (Hangabtriebskomponente F_GH).

$F_{GN} = F_G \cdot \cos(\alpha) = F_G \cdot \frac{b}{l}$

$F_{GH} = F_G \cdot \sin(\alpha) = F_G \cdot \frac{h}{l}$

An der Kontaktfläche zwischen Körper und schiefer Ebene wirken eine Normalkraft F_N und eine Haftreibungskraft F_R.

Da der Körper in Ruhe ist, muss die Haftreibungskraft F_R gerade gleich groß sein wie die Hangabtriebskomponente F_GH der Gewichtskraft:

$\ F_{R} = F_{GH}$

Mit dem Haftreibungsgesetz

$F_{R} \le \mu_H \cdot F_N$

ergibt sich als notwendige Bedingung

$\mu_H \ge \tan(\alpha)$

Wenn der Neigungswinkel α zu groß oder der Reibungskoeffizient μ_H zu klein ist, so ist kein Gleichgewicht möglich – der Körper rutscht.

Der Haftreibungskoeffizient μ_H (manchmal als μ₀ bezeichnet) ist in jedem Fall größer als der Gleitreibungskoeffizient μ .

Zu beachten ist, dass

1. die Steigung als das Verhältnis $\tan(\alpha) = \frac{h}{b}$ und
2. der Anstieg als das Verhältnis $\sin(\alpha) = \frac{h}{l}$

bezeichnet wird.

Bewegung mit Luftwiderstand

Im folgenden soll die Luftwiderstandskraft $F = k \cdot v^2$ bei der Bewegung des Körpers an der schiefen Ebene berücksichtigt werden. Im Gegensatz zu obigem Abschnitt ist der Körper nicht mehr in Ruhe. Wirksam ist der Luftwiderstand sowie die Gleitreibung. Die Konstante k ist von der Form des Körpers und der Dichte des strömenden Mediums (z. B. Luft) abhängig. Es gilt: $k = c_w \cdot A \cdot \rho$.

Hierbei ist c_w der Widerstandsbeiwert, A die Körperquerschnittsfläche und ρ die Dichte des strömenden Mediums, μ ist der Gleitreibungs-Koeffizient.

Aus den Kraftansätzen entstehen recht komplexe Bewegungsgleichungen. Diese Differentialgleichungen sind aber lösbar.

Abwärtsbewegung

Aus dem Kraftansatz $m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin (\alpha ) - \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos (\alpha ) - k \cdot v^2$

folgt die Differentialgleichung $m \dot v \,\, + k \cdot v^2 = c$.

mit $c = m \cdot g \cdot \sin (\alpha ) - \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos (\alpha )$

Folgende Fälle sind zu unterscheiden:

a) $c > 0\,\,\,bzw.\,\,\,\,\tan (\alpha ) > \mu$

Ansatz: $v = a \cdot \tanh (b \cdot t)$ => $\dot v = \frac{{a \cdot b}}{{\cosh ^2 \left( {b \cdot t} \right)}}$.

Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von $\cosh ^2 \left( {b \cdot t} \right) = 1 + \sinh ^2 \left( {b \cdot t} \right)$ und durch Koeffizientenvergleich erhält man:

$a = \sqrt {\frac{c}{k}} \,\,\,\,\,und\,\,\,\,\,\,b = \frac{{\sqrt {c \cdot k} }}{m}$

Als Lösung ergibt sich:

$v(t) = \sqrt {\frac{c} {k}} \cdot \tanh \left( {\frac{{\sqrt {c \cdot k} }} {m}t + atnh\left( {v_0 \sqrt {\frac{k} {c}} } \right)} \right)$

$\sqrt {\frac{c}{k}}$ ist die Endgeschwindigkeit.

$v_0< \sqrt {\frac{c}{k}}$. tanh(x) ist der Tangens Hyperbolicus.

b) $c < 0\,\,\,bzw.\,\,\,\,\tan (\alpha ) < \mu$

unter Berücksichtigung von $i \cdot \tanh (ix) = - \tan (x)$ erhält man:

$v(t) = - \sqrt {\frac{{ - c}}{k}} \cdot \tan \left( {\frac{{\sqrt { - c \cdot k} }}{m} \cdot \left( {t - t_0 } \right)} \right);t \in \left[ {0;t_0 } \right]$

zum Zeitpunkt $t_0 = \frac{m}{{\sqrt { - c \cdot k} }} \cdot atn\left( {v_0 \cdot \sqrt {\frac{k}{{ - c}}} } \right)$ kommt der Körper zur Ruhe. Für den Bremsweg s gilt:

$s = \int\limits_0^{t_0 } {v(t)dt = - \frac{m}{k}\ln \left( {\cos \left( {atn\left( {v_0 \cdot \sqrt {\frac{k}{{ - c}}} } \right)} \right)} \right)}$

c) $c = 0\,\,\,bzw.\,\,\,\,\tan (\alpha ) = \mu$

$v(t) = \frac{m}{{k \cdot (t + \frac{m}{{k \cdot v_0 }})}}$

Die Geschwindigkeit nähert sich zwar hyperbelförmig der Ruhe, der Bremsweg ist aber unendlich lang.

Aufwärtsbewegung

Aus dem Kraftansatz $m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin (\alpha ) + \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos (\alpha ) + k \cdot v^2$

folgt die Differentialgleichung $m \dot v \,\, - k \cdot v^2 = c$.

mit $c = m \cdot g \cdot \sin (\alpha ) + \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos (\alpha )$

Ansatz: $v = a \cdot \tan (b \cdot t)$ => $\dot v = \frac{{a \cdot b}}{{\cos ^2 \left( {b \cdot t} \right)}}$.

Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von $\cos ^2 \left( {b \cdot t} \right) = 1 - \sin ^2 \left( {b \cdot t} \right)$

und durch Koeffizientenvergleich erhält man

$a = \sqrt {\frac{c}{k}} \,\,\,\,\,und\,\,\,\,\,\,b = \frac{{\sqrt {c \cdot k} }}{m}$

Als Lösung ergibt sich:

$v(t) = \sqrt {\frac{c}{k}} \cdot \tan \left( {\frac{{\sqrt {c \cdot k} }}{m} \cdot \left( {t - t_0 } \right)} \right);t \in \left[ {0;t_0 } \right]$

zum Zeitpunkt $t_0 = \frac{m}{{\sqrt {c \cdot k} }} \cdot atn\left( { - v_0 \cdot \sqrt {\frac{k}{c}} } \right)$ kommt der Körper zur Ruhe, wobei v0 negativ ist.

Für den Bremsweg s gilt:

$s = \int\limits_0^{t_0 } {v(t)dt = - \frac{m}{k}\ln \left( {\cos \left( {atn\left( {\left| {v_0 } \right| \cdot \sqrt {\frac{k}{c}} } \right)} \right)} \right)}$

Weblinks

• Bestimmung der Endgeschwindigkeit an einer geneigten Ebene
• Interaktives Experiment zu Hangabtriebskraft, Reibungskraft und Normalkraft auf einen Körper auf einer Schiefen Ebene
• Die „Goldene Regel der Mechanik“ interaktiv hergeleitet am Beispiel der schiefen Ebene
• Aufgabe mit kommentierter Lösung