Glatte Zahl

Eine glatte Zahl bezüglich einer Schranke S ist eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung keine Primzahlen vorkommen, die größer als die Schranke sind. Man bezeichnet eine solche Zahl auch als S-glatt.

Eine natürliche Zahl heißt potenzglatt bezüglich einer Schranke S, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung nur Primpotenzen kleiner oder gleich S vorkommen. Das heißt, für jeden Primfaktor q, der a_q mal vorkommt, gilt:

$q^{a_q} \leq S$.

Beispiel

• Nehmen wir als Beispiel die Zahl $720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$.
  • 720 ist nicht 1-glatt, ..., 4-glatt, aber sie ist 5-glatt, 6-glatt, ...
  • 720 ist ferner nicht 1-potenzglatt, ..., 15-potenzglatt, aber sie ist 16-potenzglatt, 17-potenzglatt, ...
• Bei Primzahlen fallen die Begriffe glatt und potenzglatt zusammen.

Eigenschaften

Für jede natürliche Zahl gibt es eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Das heißt zu jedem $a\in\mathbb{N}$ existiert $n\in\mathbb{N}$ und Primzahlen $p_1,\dots,p_n\in\mathbb{P}$, sowie Vielfachheiten $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{N}$ so, dass gilt

$a=\prod_{i=1}^{n} q_i^{a_i}$

Nun definieren wir

$g(a):=\max\{q_i;i=1,\dots,n\}$

$z(a):=\max\{q_i^{a_i};i=1,\dots,n\}$

Für jedes $g\geq g(a)$ und $z\geq z(a)$ ist die Zahl a g-glatt und z-potenzglatt, für alle g < g(a) und z < z(a) ist die Zahl a weder g-glatt noch z-potenzglatt.

7er glatte Zahlen

7er glatte Zahlen sind alle Zahlen, die ausschließlich aus Potenzen der Primfaktoren $\scriptstyle 2, 3, 5, 7$ bestehen.

• Beispiel: $1372 = 2^2 \cdot 7^3$

Ein synonym gebrauchter Begriff ist auch die Bezeichnung als hochzusammengesetzte Zahlen, wobei 7er glatte Zahlen sich vom tatsächlichen mathematischen Konzept der Hochzusammengesetzten Zahl unterscheiden, welches alle Primfaktoren zulässt und weitere Bedingungen an diese stellt.

Da die Primzahlen 2,3,5,7 in den auf hochzusammengesetzten Zahlen hin orientierten, vormetrischen, alten Maßen und Gewichten omnipräsent sind, spielt diese Folge auch in der Forschung zur historischen Metrologie eine Rolle.

• Zahlenfolge 7er glatte Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42 ... (Folge A002473 in OEIS)

Verfahren

Das Quadratische Sieb, ein Faktorisierungsverfahren, beruht auf der Primfaktorzerlegung Quadratischer Reste. Diese Zerlegung kann für glatte Zahlen leicht durchgeführt werden.

Folgen glatter Zahlen

Für jede Schranke S bilden die entsprechenden S-glatten Zahlen eine Folge. Unter der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) stehen diese Folgen für kleine Schranken zur Verfügung:

• 2-glatte Zahlen: Folge A000079 in OEIS – alle Zweierpotenzen $\scriptstyle 2^x$
• 3-glatte Zahlen: Folge A003586 in OEIS – Zahlen der Form $2^x \cdot 3^y$
• 5-glatte Zahlen: Folge A051037 in OEIS – Zahlen der Form $2^x \cdot 3^y \cdot 5^z$
• 7-glatte Zahlen: Folge A002473 in OEIS – ...
• 11-glatte Zahlen: Folge A51038 in OEIS
• 13-glatte Zahlen: Folge A80197 in OEIS
• 17-glatte Zahlen: Folge A80681 in OEIS
• 19-glatte Zahlen: Folge A80682 in OEIS
• 23-glatte Zahlen: Folge A80683 in OEIS

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Smooth Number. In: MathWorld. (englisch)