Hochzusammengesetzte Zahl

Eine hochzusammengesetzte Zahl (engl. highly composite number, kurz: HCN) ist eine positive ganze Zahl, die mehr Teiler besitzt als jede kleinere positive ganze Zahl zuvor. Solche Zahlen sind aufgrund ihrer maximalen Teilbarkeit eine Art Gegenstück zur Primzahl und wurden mit als erstes vom indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan untersucht.

(In einer zweiten Bedeutung wurde der Begriff der hochzusammengesetzten Zahl auch gebraucht als Synonym zum Begriff der → 7er glatten Zahl.)

Die ersten zwanzig hochzusammengesetzten Zahlen:

Rang:	Siehe: Ordinalzahlen	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Zahl:	Folge A002182 in OEIS	1	2	4	6	12	24	36	48	60	120	180	240	360	720	840	1260	1680	2520	5040	7560
Teiler:	Folge A002183 in OEIS	1	2	3	4	6	8	9	10	12	16	18	20	24	30	32	36	40	48	60	64

Eigenschaften

Aufbau

Jede positive natürliche Zahl n ist folgendermaßen aufgebaut:

$n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}$    und    $p_1 < p_2 < \cdots < p_k$

Wobei p_i die Primzahlen sind. Die Exponenten c_i sind dabei von Null verschiedene natürliche Zahlen.

Die Anzahl der Teiler einer positiven natürlichen Zahl lässt sich mit folgender Formel bestimmen:

$(c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1)$.

Für hochzusammengesetzte Zahlen gilt:

• Die k Primzahlen p_i sind genau die ersten k Primzahlen, denn jede ausgelassene Primzahl würde es ermöglichen, ein kleineres n mit gleicher Teileranzahl zu konstruieren.
• Die Folge der Exponenten ist nicht-ansteigend, also $c_1\geq c_2\geq\ldots\geq c_k$, denn andernfalls wäre es durch Vertauschung von Exponenten möglich, ein kleineres n mit gleicher Teileranzahl zu konstruieren.

Diese beiden Eigenschaften sind zwar notwendig, aber nicht hinreichend. So muss, ausgenommen n = 4 und n = 36, der letzte Exponent 1 sein.

Beispiel:

$720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1$

Teilbarkeit

Eine hochzusammengesetzte Zahl … „They are as unlike a prime as a number can be.“ (Hardy^[1], deutsch: „ist so verschieden zu einer Primzahl, wie eine Zahl es sein kann.“)

Ebendiese Eigenschaft, möglichst viele Teiler zu haben, bietet gewisse praktische Vorteile und wird deshalb oft bewusst gesucht. So basiert das Winkelgradsystem zu 360° auf einer hochzusammengesetzten Zahl. Auch die Stunden zu 24, Minuten und Sekunden zu je 60 Einheiten sowie das alte Münzsystem Karls des Großen mit der Beziehung ein Pfund Silber gleich 240 Pfennige oder Denare sind hier zu nennen. Auch in Preußen war von 1821 bis 1873 ein Taler gleich 360 Pfennige.

Ramanujan und hochzusammengesetzte Zahlen

Als einer der ersten Mathematiker beschäftigte sich der Inder Srinivasa Ramanujan eingehend mit hochzusammengesetzten Zahlen. Dabei fand er die oben genannte Regel der nicht-ansteigenden Exponenten. Die Regel kann dazu genutzt werden, hochzusammengesetzte Zahlen zu konstruieren. Ramanujan selbst stellte eine Liste von über hundert der ersten hochzusammengesetzten Zahlen auf. Er übersah dabei aber eine einzige. Heute sind Online-Listen über hunderttausend Zahlen dieser Zahlenfolge zu finden.

Weblinks

• Besondere hochzusammengesetzte Zahlen
• Achim Flammenkamp: Weiterführendes, Universität Bielefeld.

Einzelnachweise

1. ↑ nach Robert Kanigal: The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan. Scribner, New York 1991, Seite 232.