Grenze einer quadratischen Matrix

Obere (bzw. untere) Grenze einer quadratischen Matrix ist ein Begriff der lineraren Algebra, der in Arbeiten aus der Mitte des 20. Jh. im Bereich der Numerik bei Fehlerabschätzungen für Matritzenprobleme verwendet wurde. Unter obere Grenze der quadratischen Matrix A, in Zeichen $\overline{|A|}$, versteht man (nach Wielandt):

$\overline{|A|}= \max_i \sqrt{\varkappa_i}$,

wobei $\varkappa_0,\varkappa_1,...$ die charakteristischen Zahlen (Eigenwerte) von $\overline{A}^TA$ bezeichnen.

In der moderneren Literatur wird der Begriff Spektralnorm bevorzugt ($\overline{|A|}=\left\| A \right\|_2$, da die charakteristischen Zahlen der hermiteschen positiv definiten oder semidefiniten Matrix $\overline{A}^TA$ reell und nichtnegativ sind). Ähnlich definiert man die untere Grenze von A:

$\underline{|A|}= \min_i \sqrt{\varkappa_i}$.

Es gilt $\underline{|A|}=\left\| A^{-1} \right\|_2^{-1}$, falls $\textrm{det}(A)\neq 0$.

Seien λ₀,λ₁,... die charakteristischen Zahlen von A. Für hermiteschen Matrizen A gilt:

$\overline{|A|}= \max_i |\lambda_i|$

und

$\underline{|A|}= \min_i |\lambda_i|$.

Falls A auch noch positiv definit ist, entfallen die Beitragsstriche auf der rechten Seiten.

Für beliebige quadratische Matrizen A und B lassen sich folgende Regeln beweisen:

• $\overline{|A|}-\overline{|B|}\leq\overline{|A+B|}\leq\overline{|A|}+\overline{|B|}$
• $\underline{|A|}-\overline{|B|}\leq\underline{|A+B|}\leq\underline{|A|}+\overline{|B|}$
• $\underline{|A|}\leq|\lambda_i|\leq\overline{|A|}$

Literatur

• Grenze (obere u. untere) einer quadratischen Matrix. In: J. Naas, H. L. Schmid: Mathematisches Wörterbuch. B. G. Teubner, Stuttgart, 1979, ISBN 3-519-02400-4

• Matrizenprobleme, Fehlerabschätzungen für. In: ebd.

• Lothar Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., Leipzig, ²1963, §18.3

• Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Springer, 1964, §9.5