- Algebraischer Zahlkörper
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Ein algebraischer Zahlkörper oder kurz ein Zahlkörper bezeichnet in der Mathematik eine endliche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen
. Die Untersuchung algebraischer Zahlkörper ist ein zentraler Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Zahlentheorie.
Eine wichtige Rolle spielen dabei die Ganzheitsringe algebraischer Zahlkörper, die Analoga des Rings der ganzen Zahlen
im Körper
darstellen.
Inhaltsverzeichnis
Definition und einfache Eigenschaften
Ein algebraischer Zahlkörper K ist definiert als endliche Körpererweiterung des Körpers
der rationalen Zahlen. Das bedeutet, dass K als Vektorraum über
eine endliche Dimension hat. Diese Dimension heißt Grad des Zahlkörpers.
Als endliche Erweiterungen sind Zahlkörper stets auch algebraische Erweiterungen von
, das heißt, jedes Element eines Zahlkörpers ist Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten und ist daher eine algebraische Zahl. Umgekehrt ist allerdings nicht jede algebraische Erweiterung von
ein Zahlkörper: Beispielsweise ist der Körper
aller algebraischen Zahlen zwar eine algebraische, aber keine endliche Erweiterung von
, also kein algebraischer Zahlkörper.
Nach dem Satz vom primitiven Element sind Zahlkörper einfache Körpererweiterungen von
, lassen sich also in der Form
als Adjunktion einer algebraischen Zahl ξ zu
darstellen.
Ganzheit
Ein Element x eines Zahlkörpers K wird ganz genannt, wenn es Nullstelle eines normierten Polynoms (Leitkoeffizient 1) mit Koeffizienten aus
ist. Das heißt, x erfüllt eine Gleichung der Gestalt
mit ganzen Zahlen
. Solche Zahlen werden auch ganzalgebraische Zahlen genannt.
Die ganzen Zahlen bilden einen Unterring von K, der Ganzheitsring von K genannt wird und üblicherweise mit
, OK oder auch
bezeichnet wird.
Beispiele
- Als triviales Beispiel ist
selbst ein Zahlkörper (vom Grad 1). Erwartungsgemäß gilt
, d. h., die ganzen rationalen Zahlen sind die „normalen“ ganzen Zahlen.
- Der Körper
der komplexen Zahlen mit rationalen Real- und Imaginärteilen ist ein Zahlkörper vom Grad 2. Der zugehörige Ganzheitsring ist
, der Ring der (ganzen) gaußschen Zahlen.
- Allgemeiner bilden die quadratischen Zahlkörper
mit quadratfreiem
genau die Zahlkörper vom Grad 2. Für die Ganzheitsringe ergibt sich
-
, falls d kongruent 2 oder 3 mod 4 ist,
, falls d kongruent 1 mod 4 ist.
- Die Kreisteilungskörper
mit einer primitiven n-ten Einheitswurzel ζn sind Zahlkörper vom Grad φ(n) mit der eulerschen φ-Funktion. Der Ganzheitsring ist
.
Basen
Da ein Zahlkörper K vom Grad n ein n-dimensionaler
-Vektorraum ist, besteht jede Basis von K aus genau n Elementen. Ist
eine solche Basis, dann lässt sich jedes Element
schreiben in der Form
mit eindeutig bestimmten Koeffizienten
, die jedoch von der Wahl der Basis abhängen. Gilt
, dann besitzt K die spezielle Basis
, wobei der Grad n von K gleich dem Grad des Minimalpolynoms der algebraischen Zahl ξ ist.
Eine Basis von K heißt Ganzheitsbasis, wenn sich jedes ganze Element
in der Form
mit
schreiben lässt. Beispielsweise ist
eine Basis von
, aber keine Ganzheitsbasis, denn nicht alle Elemente des Ganzheitsrings
lassen sich als ganzzahlige Linearkombinationen von 1 und
schreiben. Dagegen ist
eine Ganzheitsbasis von
.
Eine andere basisabhängige Darstellung von Elementen eines Zahlkörpers K ist die Matrixdarstellung. Sei dazu
fest gewählt, dann ist durch die Multiplikation mit x eine lineare Abbildung
,
gegeben. Dieser Endomorphismus lässt sich bezüglich einer festen Basis durch eine quadratische Matrix darstellen. Die Determinante und die Spur der Abbildung (also der darstellenden Matrix) werden Norm bzw. Spur von x genannt und sind wichtige Hilfsmittel für Rechnungen und Beweise in algebraischen Zahlkörpern.
Verallgemeinerung und Einordnung
Die algebraischen Zahlkörper bilden zusammen mit den Funktionenkörpern
der Charakteristik p die Klasse der globalen Körpern, die zusammen mit den lokalen Köpern, zu denen etwa die Körper
der p-adischen Zahlen gehören, die wichtigsten Untersuchungsobjekte der algebraischen Zahlentheorie darstellen.
Verweise
- Idealklassengruppe
- Dirichletscher Einheitensatz
- Kummer-Erweiterung
- Quadratisches Reziprozitätsgesetz, Artinsches Reziprozitätsgesetz
- Klassenkörpertheorie
- Brauer-Gruppe
- Iwasawa-Theorie
- Dedekindsche Zeta-Funktion
Literatur
- Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Ein moderner Zugang zu klassischen Themen. Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0211-5 (Vieweg Studium).
- Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 2006. ISBN 3-540-37547-3.
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